Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Un estudio realizado por el Centro Nacional de Ciberseguridad español ha revelado que el número de dispositivos móviles hackeados en España viene determinado, en millones de aparatos, por la función $f(t)=\dfrac{t^2+15}{(t+1)^2}$, donde $t$ indica el tiempo medido en años, siendo $t=0$ el tiempo que corresponde al año 2005.

a) ¿Cuál es el número inicial de dispositivos hackeados?
b) Calcular el número mínimo de dispositivos hackeados. ¿En qué año se alcanza ese mínimo?
c) Calcular el número de dispositivos que habrá hackeados en España a largo plazo.

$\textbf{a) ¿Cuál es el número inicial de dispositivos hackeados?}$

El instante inicial es $t=0$, que corresponde al año 2005:

$f(0)=\dfrac{0^2+15}{(0+1)^2}=\dfrac{15}{1}=15$

En 2005 había 15 millones de dispositivos hackeados.

$\textbf{b) Calcular el número mínimo de dispositivos hackeados. ¿En qué año se alcanza ese mínimo?}$

Se deriva la función como un cociente y se simplifica sacando factor común $(t+1)$ en el numerador:

$f'(t)=\dfrac{2t(t+1)^2-(t^2+15)\cdot 2(t+1)}{(t+1)^4} =\dfrac{2t(t+1)-2(t^2+15)}{(t+1)^3}$

$f'(t)=\dfrac{2t^2+2t-2t^2-30}{(t+1)^3}=\dfrac{2t-30}{(t+1)^3}$

El denominador es positivo para $t\geq 0$, así que el signo lo decide el numerador:

$f'(t)=0 \Rightarrow 2t-30=0 \Rightarrow t=15$

Se toma un valor de prueba a cada lado:

$f'(5)=\dfrac{10-30}{216}<0$, la función decrece.

$f'(20)=\dfrac{40-30}{9261}>0$, la función crece.



Como la derivada pasa de negativa a positiva, en $t=15$ hay un mínimo:

$f(15)=\dfrac{15^2+15}{(15+1)^2}=\dfrac{225+15}{256}=\dfrac{240}{256}=\dfrac{15}{16}=0{,}9375$

El número mínimo de dispositivos hackeados es de $\dfrac{15}{16}=0{,}9375$ millones, es decir, 937500 aparatos, y se alcanza en $t=15$, o sea, en el año 2020.

$\textbf{c) Calcular el número de dispositivos que habrá hackeados en España a largo plazo.}$

Se calcula el límite en el infinito. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{t^2+15}{(t+1)^2}=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{t^2+15}{t^2+2t+1}=1$

La recta $y=1$ es una asíntota horizontal: a largo plazo el número de dispositivos hackeados tiende a estabilizarse en 1 millón.