Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 4 & -1 \end{pmatrix}$ y $D=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$:

a) Sea $A^t$ la matriz transpuesta de $A$, indicar razonadamente cuáles de los productos de matrices $A\cdot B$, $B\cdot A^t$, $C\cdot D$ y $D\cdot A$ se pueden realizar. Determinar las dimensiones de las matrices resultantes en aquellos casos en los que sea posible realizar dichos productos.
b) Hallar la matriz $X$ que es solución de la ecuación $X\cdot B=D$.

$\textbf{a) Sea } \boldsymbol{A^t}\textbf{ la matriz transpuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{, indicar razonadamente cuáles de los productos de matrices } \boldsymbol{A\cdot B}\textbf{, } \boldsymbol{B\cdot A^t}\textbf{, } \boldsymbol{C\cdot D}\textbf{ y } \boldsymbol{D\cdot A}\textbf{ se pueden realizar. Determinar las dimensiones de las matrices resultantes en aquellos casos en los que sea posible realizar dichos productos.}$

Un producto de matrices existe cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y el resultado tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda.

Se anotan las dimensiones:

$A$ es $3\times 2$, luego $A^t$ es $2\times 3$.

$B$ es $2\times 2$.

$C$ es $1\times 2$.

$D$ es $2\times 2$.

$A\cdot B$: $(3\times 2)\cdot(2\times 2)$. Las 2 columnas de $A$ coinciden con las 2 filas de $B$, así que sí se puede y el resultado es $3\times 2$.

$B\cdot A^t$: $(2\times 2)\cdot(2\times 3)$. Sí se puede y el resultado es $2\times 3$.

$C\cdot D$: $(1\times 2)\cdot(2\times 2)$. Sí se puede y el resultado es $1\times 2$.

$D\cdot A$: $(2\times 2)\cdot(3\times 2)$. Las 2 columnas de $D$ no coinciden con las 3 filas de $A$, así que este producto NO se puede realizar.

$\textbf{b) Hallar la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que es solución de la ecuación } \boldsymbol{X\cdot B=D}\textbf{.}$

En $X\cdot B=D$ la incógnita está multiplicada por la derecha, así que hay que multiplicar por la derecha por la inversa de $B$:

$X\cdot B\cdot B^{-1}=D\cdot B^{-1} \Rightarrow X=D\cdot B^{-1}$

Se comprueba primero que $B$ tiene inversa:

$|B|=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}=3+4=7\neq 0$

Para una matriz de orden dos la inversa es

$B^{-1}=\dfrac{1}{|B|}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

Se multiplica:

$X=\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 6 & -2 \end{pmatrix} \cdot\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} -3+10 & 2+5 \\ 18-4 & -12-2 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 14 & -14 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-2 & 2+3 \\ 2+4 & 4-6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}=D$