Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una parcela produce tres cereales diferentes: maíz, trigo y centeno. En la parcela trabajan tres agricultores durante exactamente 8 horas diarias cada uno, y se utiliza el sistema de riego durante exactamente 60 minutos diarios. Para cuidar el maíz se emplean 2 horas de mano de obra y se necesitan 6 minutos de riego; para cuidar el trigo se emplean 4 horas de mano de obra y 4 minutos de riego; y para el centeno se emplea 1 hora de mano de obra y 4 minutos de riego.

Si se deben producir exactamente 12 kilogramos en total de cereal al día por limitaciones en la producción, calcular los kilogramos de cada tipo de cereal que se producen cada día en la parcela. (3 puntos)

Se llama $x$ a los kilogramos de maíz, $y$ a los de trigo y $z$ a los de centeno que se producen al día.

Se ordena la información en una tabla.

$\text{Cereal}$	$\text{Mano de obra (h)}$	$\text{Riego (min)}$
Maíz ($x$)	$2x$	$6x$
Trigo ($y$)	$4y$	$4y$
Centeno ($z$)	$z$	$4z$
Totales	$24$	$60$

Los tres agricultores trabajan exactamente 8 horas cada uno, en total $3\cdot 8=24$ horas:

$2x+4y+z=24$

El riego funciona exactamente 60 minutos:

$6x+4y+4z=60$

Y hay que producir 12 kilogramos de cereal en total:

$x+y+z=12$

Se reúnen las tres condiciones en un sistema:

$\begin{cases} 2x+4y+z=24 \\ 6x+4y+4z=60 \\ x+y+z=12 \end{cases}$

De la tercera ecuación se despeja $z=12-x-y$ y se sustituye en las otras dos.

En la primera:

$2x+4y+(12-x-y)=24 \Rightarrow x+3y=12$

En la segunda:

$6x+4y+4(12-x-y)=60 \Rightarrow 6x+4y+48-4x-4y=60 \Rightarrow 2x=12$

$x=6$

Se lleva ese valor a $x+3y=12$:

$6+3y=12 \Rightarrow 3y=6 \Rightarrow y=2$

$z=12-6-2=4$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$6\cdot 6+4\cdot 2+4\cdot 4=36+8+16=60$

Cada día se producen 6 kilogramos de maíz, 2 de trigo y 4 de centeno.