Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Para realizar un rescate, la probabilidad de llegar antes del anochecer desde el centro de emergencias situado en la localidad A es de 0.7 y 0.4 desde el situado en la localidad B. Se decide enviar a equipos desde ambas localidades. Si los equipos actúan de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno llegue antes del anochecer? (1 punto)

Se nombran los sucesos:

$A \equiv$ el equipo enviado desde la localidad A llega antes del anochecer,
$B \equiv$ el equipo enviado desde la localidad B llega antes del anochecer.

Por el enunciado:

$P(A)=0{,}7;\quad P(B)=0{,}4$

y los dos equipos actúan de manera independiente.

Que llegue al menos uno es lo contrario de que no llegue ninguno, y ese suceso contrario es mucho más cómodo de calcular:

$P(A\cup B)=1-P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)$

Al ser $A$ y $B$ independientes, también lo son sus contrarios, de modo que la probabilidad de la intersección es el producto:

$P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}) =(1-0{,}7)(1-0{,}4)=0{,}3\cdot 0{,}6=0{,}18$

$P(A\cup B)=1-0{,}18=0{,}82$

Se puede comprobar con la fórmula de la unión, que para sucesos independientes da lo mismo:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0{,}7+0{,}4-0{,}28=0{,}82$

La probabilidad de que al menos uno de los dos equipos llegue antes del anochecer es de 0,82.