Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} a & 4 & 1 & 8 \\ -2 & b & 4 & c \end{pmatrix}$, hallar los valores $a$, $b$ y $c$ para que el rango de la matriz $A$ sea 1. (1 punto)

El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes que tiene. Que el rango de $A$ sea 1 significa que sus dos filas son proporcionales, es decir, que existe un número $k$ tal que la segunda fila es $k$ veces la primera:

$(-2,\ b,\ 4,\ c)=k\cdot(a,\ 4,\ 1,\ 8)$

La tercera columna es la que fija el valor de $k$, porque en ella los dos elementos son conocidos:

$4=k\cdot 1 \Rightarrow k=4$

Con ese valor se despejan las otras tres incógnitas columna a columna:

$-2=4a \Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$

$b=4\cdot 4=16$

$c=4\cdot 8=32$

Se comprueba que con esos valores las dos filas son proporcionales:

$A=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} & 4 & 1 & 8 \\[2mm] -2 & 16 & 4 & 32 \end{pmatrix}$

$(-2,16,4,32)=4\cdot\left(-\dfrac{1}{2},4,1,8\right)$

Además la primera fila no es nula, así que el rango es exactamente 1 y no 0.

Los valores pedidos son $a=-\dfrac{1}{2}$, $b=16$ y $c=32$.