Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

La recaudación diaria de una tienda de deportes de determinada marca es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu$ euros y desviación típica de 328 euros. Se elige una muestra de 100 tiendas de dicha marca y se obtiene una recaudación diaria media de 1248 euros.

a) Calcular el intervalo de confianza para la media $\mu$ al nivel de confianza del 99 %.
b) ¿Qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de tiendas de dicha marca para alcanzar, con un nivel de confianza del 95 %, un error máximo de 127 euros en la estimación de $\mu$?

$\textbf{a) Calcular el intervalo de confianza para la media } \boldsymbol{\mu}\textbf{ al nivel de confianza del 99 \%.}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma=328$, de modo que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 99 % se tiene $\alpha/2=0{,}005$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}005=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$



Se calcula el error máximo con $\overline{x}=1248$, $\sigma=328$ y $n=100$:

$E=2{,}575\cdot\dfrac{328}{\sqrt{100}}=2{,}575\cdot 32{,}8=84{,}46$

Los extremos del intervalo son:

$1248-84{,}46=1163{,}54$

$1248+84{,}46=1332{,}46$

Con una confianza del 99 %, la recaudación diaria media de esas tiendas está entre 1163,54 y 1332,46 euros.

$\textbf{b) ¿Qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de tiendas de dicha marca para alcanzar, con un nivel de confianza del 95 \%, un error máximo de 127 euros en la estimación de } \boldsymbol{\mu}\textbf{?}$

Ahora el nivel de confianza es del 95 %, de modo que $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



Se impone que el error máximo no pase de 127 euros y se despeja el tamaño de la muestra:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 127 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{1{,}96\cdot 328}{127}=\dfrac{642{,}88}{127}=5{,}0620$

$n\geq 5{,}0620^2=25{,}6243$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, se toma el entero inmediatamente superior.

Bastaría con una muestra de 26 tiendas para que, con una confianza del 95 %, el error no supere los 127 euros.