Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Consideremos la función

$f(x)=\begin{cases} 6x-1 & \text{si } x \leq 0 \\[2mm] \dfrac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

a) Estudiar la continuidad de la función $f(x)$ en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.
b) Calcular el área limitada por la función $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[1,10]$, dibujando el recinto correspondiente.

$\textbf{a) Estudiar la continuidad de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.}$

El primer trozo, $6x-1$, es polinómico y está definido para todo $x\leq 0$. El segundo, $\dfrac{1}{x}$, solo se indefine en $x=0$, valor que no cumple $x>0$. El dominio de la función es, por tanto, todo $\mathbb{R}$, y en cada trozo por separado es continua.

El punto que hay que estudiar es el empalme, $x=0$.

Valor de la función. Como $x=0$ cumple $x\leq 0$, se usa el primer trozo:

$f(0)=6\cdot 0-1=-1$

Límite por la izquierda:

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(6x-1)=-1$

Límite por la derecha:

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$

Los límites laterales no coinciden y, además, el de la derecha es infinito, de modo que no existe el límite en $x=0$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ y en $x=0$ presenta una discontinuidad de salto infinito: la recta $x=0$ es una asíntota vertical por la derecha.

$\textbf{b) Calcular el área limitada por la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje de abscisas en el intervalo } \boldsymbol{[1,10]}\textbf{, dibujando el recinto correspondiente.}$

Todo el intervalo $[1,10]$ cumple $x>0$, así que en él la función es $f(x)=\dfrac{1}{x}$, positiva en todo el intervalo. El recinto queda por encima del eje y no hace falta partir la integral.



$A=\int_{1}^{10}\dfrac{1}{x}\,dx=\left[\ln|x|\right]_{1}^{10}=\ln 10-\ln 1$

Como $\ln 1=0$:

$A=\ln 10\approx 2{,}30$

El área limitada por la función y el eje de abscisas en $[1,10]$ es de $\ln 10\approx 2{,}30$ unidades cuadradas.