Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

En una factoría los costes variables (miles de euros) vienen dados por la función:

$c(x)=2x+720+\dfrac{80000}{x}$

siendo $x>0$ el número de toneladas producidas.

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los costes variables en esa factoría.
b) Calcular el coste variable mínimo y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste mínimo.

$\textbf{a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los costes variables en esa factoría.}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada. Se deriva escribiendo el último sumando como una potencia:

$c(x)=2x+720+80000x^{-1}$

$c'(x)=2-80000x^{-2}=2-\dfrac{80000}{x^2}=\dfrac{2x^2-80000}{x^2}$

$c'(x)=0 \Rightarrow 2x^2=80000 \Rightarrow x^2=40000 \Rightarrow x=\pm 200$

Como el enunciado impone $x>0$, el único punto crítico es $x=200$. Se toma un valor de prueba a cada lado:

$c'(100)=2-\dfrac{80000}{10000}=2-8=-6<0$, la función decrece.

$c'(300)=2-\dfrac{80000}{90000}=2-0{,}89=1{,}11>0$, la función crece.



Los costes variables decrecen en $(0,200)$ y crecen en $(200,+\infty)$.

$\textbf{b) Calcular el coste variable mínimo y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste mínimo.}$

Como la derivada pasa de negativa a positiva, en $x=200$ hay un mínimo. Se confirma con la segunda derivada:

$c''(x)=\dfrac{160000}{x^3} \Rightarrow c''(200)=\dfrac{160000}{8000000}=0{,}02>0$

Se calcula el coste en ese punto:

$c(200)=2\cdot 200+720+\dfrac{80000}{200}=400+720+400=1520$

El coste variable mínimo se alcanza produciendo 200 toneladas y vale 1520 miles de euros, es decir, 1520000 euros.