Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema con el parámetro $a$:

$\begin{cases} x+z=1 \\ x-y+z=0 \\ x+y+az=0 \end{cases}$

a) Clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $a$.
b) Resolver el sistema para $a=-1$.

$\textbf{a) Clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius. Las matrices del sistema son

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad A^*=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 0 \end{pmatrix}$

Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila:

$|A|=1\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} -0+1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =(-a-1)+(1+1)=1-a$

$|A|=0 \Rightarrow 1-a=0 \Rightarrow a=1$

Primer caso: $a\neq 1$.

Entonces $|A|\neq 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Segundo caso: $a=1$.

Hay un menor de orden dos no nulo,

$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-1\neq 0$

y como $|A|=0$ resulta $\text{rg}(A)=2$. Se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =1\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1+1=2\neq 0$

Luego $\text{rg}(A^*)=3\neq 2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: para $a\neq 1$ el sistema es compatible determinado y para $a=1$ es incompatible.

$\textbf{b) Resolver el sistema para } \boldsymbol{a=-1}\textbf{.}$

Con $a=-1$ se tiene $|A|=1-(-1)=2\neq 0$, luego hay solución única. El sistema queda

$\begin{cases} x+z=1 \\ x-y+z=0 \\ x+y-z=0 \end{cases}$

De la primera ecuación, $z=1-x$. Se sustituye en la segunda:

$x-y+(1-x)=0 \Rightarrow 1-y=0 \Rightarrow y=1$

Y en la tercera:

$x+1-(1-x)=0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$

$z=1-0=1$

Se comprueba en la segunda ecuación:

$0-1+1=0$

La solución es $x=0$, $y=1$ y $z=1$.