Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un centro logístico está planificando el reparto de dos formatos de un producto, S y L, a una de sus tiendas. Debido a sus características, la cantidad total máxima que se puede transportar de ambos formatos a la vez es 70 unidades, pero la tienda necesita recibir del formato L, al menos, un quinto del total de unidades totales. En este momento, sólo están disponibles para enviar a la tienda un máximo de 40 unidades del formato L. Además, la tienda consigue un beneficio de 3000 euros por cada unidad vendida del formato S y de 2500 euros por cada unidad vendida del formato L.

Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas unidades hay que repartir a la tienda de cada formato para que se pueda maximizar el beneficio. ¿A cuánto ascenderá ese beneficio máximo? (3 puntos)

Se llama $x$ al número de unidades del formato S e $y$ al número de unidades del formato L que se reparten a la tienda.

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$z=f(x,y)=3000x+2500y$

Las restricciones son:

Entre los dos formatos no se pueden transportar más de 70 unidades $\Rightarrow$ $x+y\leq 70$.

Del formato L hay que enviar al menos un quinto del total $\Rightarrow$ $y\geq\dfrac{x+y}{5}$, es decir, $5y\geq x+y$, o sea, $x\leq 4y$.

Solo hay disponibles 40 unidades del formato L $\Rightarrow$ $y\leq 40$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq 0;\ y\geq 0$.

$\begin{cases} x+y\leq 70 \\ x\leq 4y \\ y\leq 40 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Se representan las rectas frontera con sus tablas de valores. La región factible es la zona coloreada en azul.





$x+y=70$

$x$	$y=70-x$
30	40
56	14

$x=4y$

$x$	$y=\dfrac{x}{4}$
0	0
56	14

Los vértices salen de resolver los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de $x=0$ con $y=0$ $\Rightarrow O(0,0)$. La recta $x=4y$ también pasa por él.

Vértice $A$: corte de $x=4y$ con $x+y=70$.

$4y+y=70 \Rightarrow 5y=70 \Rightarrow y=14 \Rightarrow x=56 \Rightarrow A(56,14)$

Vértice $B$: corte de $x+y=70$ con $y=40$.

$x+40=70 \Rightarrow x=30 \Rightarrow B(30,40)$

Vértice $C$: corte de $y=40$ con $x=0$ $\Rightarrow C(0,40)$.

El recinto es acotado y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en un vértice. Se valora en los cuatro:

$f(O)=f(0,0)=0$

$f(A)=f(56,14)=3000\cdot 56+2500\cdot 14=168000+35000=203000$

$f(B)=f(30,40)=3000\cdot 30+2500\cdot 40=90000+100000=190000$

$f(C)=f(0,40)=2500\cdot 40=100000$

El máximo se alcanza en el vértice $A(56,14)$. Se comprueba que ahí se cumple la condición del quinto:

$\dfrac{x+y}{5}=\dfrac{70}{5}=14=y$

Hay que repartir 56 unidades del formato S y 14 del formato L, con un beneficio máximo de 203000 euros.