Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En el pasado mundial de fútbol, el 78 % de los penaltis fueron lanzados por un jugador diestro mientras que el resto de penaltis fueron lanzados por un jugador zurdo. Además, se marcó gol en el 82 % de los penaltis lanzados por jugadores diestros y en el 88 % de los penaltis lanzados por jugadores zurdos. Si se elige al azar un jugador para lanzar un penalti:

a) ¿Qué probabilidad hay de que marque gol?
b) Si al lanzar el penalti no se marcó gol, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador que lanzó el penalti sea zurdo?

$\textbf{a) ¿Qué probabilidad hay de que marque gol?}$

Se elige al azar un jugador para lanzar el penalti y se nombran los sucesos:

$D \equiv$ el lanzador es diestro,
$Z \equiv$ el lanzador es zurdo,
$G \equiv$ se marca gol.

El 78 % de los penaltis los lanzaron jugadores diestros y el resto, zurdos:

$P(D)=0{,}78;\quad P(Z)=1-0{,}78=0{,}22$

Se marcó gol en el 82 % de los lanzados por diestros y en el 88 % de los lanzados por zurdos:

$P(G/D)=0{,}82;\quad P(G/Z)=0{,}88$

Los sucesos $D$ y $Z$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(G)=P(D)\cdot P(G/D)+P(Z)\cdot P(G/Z)$

$P(G)=0{,}78\cdot 0{,}82+0{,}22\cdot 0{,}88=0{,}6396+0{,}1936=0{,}8332$

La probabilidad de que se marque gol es de 0,8332, es decir, un 83,32 %.

$\textbf{b) Si al lanzar el penalti no se marcó gol, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador que lanzó el penalti sea zurdo?}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad de no marcar, que es la contraria de la anterior:

$P(\overline{G})=1-P(G)=1-0{,}8332=0{,}1668$

$P(Z/\overline{G})=\dfrac{P(Z)\cdot P(\overline{G}/Z)}{P(\overline{G})} =\dfrac{0{,}22\cdot 0{,}12}{0{,}1668}=\dfrac{0{,}0264}{0{,}1668}$

$P(Z/\overline{G})=\dfrac{22}{139}\approx 0{,}1583$

Si no se marcó gol, la probabilidad de que el lanzador fuera zurdo es $\dfrac{22}{139}\approx 0{,}1583$, algo menor que el 22 % de zurdos que hay en el total, como era de esperar porque los zurdos fallan menos.