Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

El precio del litro de gasolina en una provincia sigue una distribución normal con media desconocida $\mu$ y desviación típica 0.05 euros. Un día cualquiera se toma una muestra de 10 estaciones de servicio, elegidas al azar en dicha provincia, registrando los siguientes precios del litro de gasolina (en euros):

1.612 1.739 1.625 1.771 1.642 1.713 1.705 1.654 1.632 1.647

a) Con esta muestra, determinar un intervalo de confianza, al nivel del 95 %, para la media poblacional $\mu$ (en euros) del precio del litro de gasolina en esa provincia.
b) Para un nivel de confianza del 99 %, ¿cuál es el tamaño mínimo de muestra que hay que tomar en esa provincia para que el error cometido al estimar la media poblacional $\mu$ (en euros) sea inferior a 2 céntimos de euro?

$\textbf{a) Con esta muestra, determinar un intervalo de confianza, al nivel del 95 \%, para la media poblacional } \boldsymbol{\mu}\textbf{ (en euros) del precio del litro de gasolina en esa provincia.}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma=0{,}05$, de modo que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Primero se calcula la media de los diez precios de la muestra:

$\overline{x}=\dfrac{1{,}612+1{,}739+1{,}625+1{,}771+1{,}642+1{,}713+1{,}705+1{,}654+1{,}632+1{,}647}{10}$

$\overline{x}=\dfrac{16{,}740}{10}=1{,}674$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



Se calcula el error máximo con $\sigma=0{,}05$ y $n=10$:

$E=1{,}96\cdot\dfrac{0{,}05}{\sqrt{10}}=\dfrac{0{,}098}{3{,}1623}\approx 0{,}031$

Los extremos del intervalo son:

$1{,}674-0{,}031=1{,}643$

$1{,}674+0{,}031=1{,}705$

Con una confianza del 95 %, el precio medio del litro de gasolina en esa provincia está entre 1,643 y 1,705 euros.

$\textbf{b) Para un nivel de confianza del 99 \%, ¿cuál es el tamaño mínimo de muestra que hay que tomar en esa provincia para que el error cometido al estimar la media poblacional } \boldsymbol{\mu}\textbf{ (en euros) sea inferior a 2 céntimos de euro?}$

Dos céntimos son 0,02 euros. Con un nivel de confianza del 99 % se tiene $\alpha/2=0{,}005$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$



Se impone que el error máximo no llegue a 0,02 y se despeja el tamaño de la muestra:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<0{,}02 \Rightarrow \sqrt{n}>\dfrac{2{,}575\cdot 0{,}05}{0{,}02}=\dfrac{0{,}12875}{0{,}02}=6{,}4375$

$n>6{,}4375^2=41{,}4414$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, se toma el entero inmediatamente superior.

Habría que tomar al menos 42 estaciones de servicio para que, con una confianza del 99 %, el error sea inferior a 2 céntimos.