Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Consideremos la función

$f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 1 \\[2mm] \dfrac{1}{2x-1} & \text{si } x > 1 \end{cases}$

a) Estudiar la continuidad de $f(x)$ en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.
b) Determinar el área encerrada entre $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $[0,1]$, dibujando el recinto correspondiente.

$\textbf{a) Estudiar la continuidad de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.}$

El primer trozo, $x^2$, es polinómico y está definido para todo $x\leq 1$. El segundo, $\dfrac{1}{2x-1}$, solo se indefine donde se anula el denominador:

$2x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

pero ese valor no cumple $x>1$, así que no afecta. El dominio de la función es todo $\mathbb{R}$ y en cada trozo por separado es continua.

El único punto dudoso es el empalme, $x=1$.

Valor de la función. Como $x=1$ cumple $x\leq 1$, se usa el primer trozo:

$f(1)=1^2=1$

Límite por la izquierda:

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x^2=1$

Límite por la derecha:

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\dfrac{1}{2x-1}=\dfrac{1}{2-1}=1$

Los dos límites laterales coinciden entre sí y con el valor de la función:

$\lim_{x\to 1}f(x)=1=f(1)$

La función es continua en $x=1$ y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$: no tiene ningún punto de discontinuidad.

$\textbf{b) Determinar el área encerrada entre } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje OX en el intervalo } \boldsymbol{[0,1]}\textbf{, dibujando el recinto correspondiente.}$

Todo el intervalo $[0,1]$ cumple $x\leq 1$, así que en él la función es $f(x)=x^2$, que es positiva o nula. El recinto queda por encima del eje y no hace falta partir la integral.



$A=\int_{0}^{1}x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}$

El área encerrada entre la función y el eje OX en el intervalo $[0,1]$ es de $\dfrac{1}{3}\approx 0{,}33$ unidades cuadradas.