Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Tras una etapa de seis horas, un ciclista publica los datos sobre la potencia desarrollada en función del tiempo. Para la segunda parte de la etapa, dicha potencia (en vatios) viene dada por la función $f(t)=-32t^2+352t-568$ para $3 \leq t \leq 6$, donde $t$ es el tiempo (en horas).

a) ¿Qué potencia alcanzó en el momento de iniciar la segunda parte de la etapa? ¿En qué intervalo de esa segunda parte alcanzó una potencia inferior a 272 vatios?
b) ¿Al cabo de cuántas horas alcanzó la máxima potencia? Calcular esa potencia máxima.

$\textbf{a) ¿Qué potencia alcanzó en el momento de iniciar la segunda parte de la etapa? ¿En qué intervalo de esa segunda parte alcanzó una potencia inferior a 272 vatios?}$

La segunda parte de la etapa empieza en $t=3$, así que basta sustituir:

$f(3)=-32\cdot 3^2+352\cdot 3-568=-288+1056-568=200$

Al iniciar la segunda parte de la etapa la potencia era de 200 vatios.

Para el segundo apartado se resuelve la inecuación $f(t)<272$ dentro de $[3,6]$. Primero se buscan los instantes en que la potencia vale exactamente 272 vatios:

$-32t^2+352t-568=272 \Rightarrow -32t^2+352t-840=0$

Se divide entre $-8$:

$4t^2-44t+105=0 \Rightarrow t=\dfrac{44\pm\sqrt{1936-1680}}{8}=\dfrac{44\pm 16}{8}$

$t=\dfrac{28}{8}=3{,}5 \quad\text{y}\quad t=\dfrac{60}{8}=7{,}5$

Solo $t=3{,}5$ pertenece a la segunda parte de la etapa. Ese instante parte $[3,6]$ en dos tramos y se comprueba el signo en cada uno:

$f(3{,}2)=-32\cdot 10{,}24+352\cdot 3{,}2-568=-327{,}68+1126{,}4-568=230{,}72<272$

$f(4)=-512+1408-568=328>272$

La potencia fue inferior a 272 vatios en el intervalo $[3;\ 3{,}5)$, es decir, durante la primera media hora de la segunda parte de la etapa.

$\textbf{b) ¿Al cabo de cuántas horas alcanzó la máxima potencia? Calcular esa potencia máxima.}$

Se busca el máximo de la función derivando e igualando a cero.

$f'(t)=-64t+352$

$f'(t)=0 \Rightarrow -64t+352=0 \Rightarrow t=\dfrac{352}{64}=5{,}5$

El valor pertenece a $[3,6]$. Se comprueba con la segunda derivada:

$f''(t)=-64<0$

luego en $t=5{,}5$ hay un máximo.



Se calcula la potencia en ese instante:

$f(5{,}5)=-32\cdot 30{,}25+352\cdot 5{,}5-568=-968+1936-568=400$

La máxima potencia se alcanzó al cabo de 5,5 horas de etapa, es decir, a las 5 horas y 30 minutos, y fue de 400 vatios.