Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ -1 & 1 & a \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & b \\ 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$.

a) Hallar los valores de $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad $A\cdot B=C$.
b) Para $a=2$ y $b=4$, resolver la ecuación matricial $X=A\cdot B+3C$.

$\textbf{a) Hallar los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que se cumpla la igualdad } \boldsymbol{A\cdot B=C}\textbf{.}$

La matriz $A$ es de dimensión $2\times 3$ y $B$ de dimensión $3\times 2$, de modo que el producto $A\cdot B$ existe y es de dimensión $2\times 2$, la misma que $C$.

Se calcula el producto:

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ -1 & 1 & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & b \\ 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 2\cdot 1+a\cdot 4+0\cdot 1 & 2\cdot b+a\cdot 2+0\cdot 3 \\ -1\cdot 1+1\cdot 4+a\cdot 1 & -1\cdot b+1\cdot 2+a\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+4a & 2b+2a \\ 3+a & 2+3a-b \end{pmatrix}$

Dos matrices son iguales cuando lo son sus elementos uno a uno:

$\begin{pmatrix} 2+4a & 2b+2a \\ 3+a & 2+3a-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

De la posición $a_{21}$ sale directamente el valor de $a$:

$3+a=2 \Rightarrow a=-1$

Que es coherente con la posición $a_{11}$:

$2+4(-1)=-2$

De la posición $a_{12}$ se despeja $b$:

$2b+2(-1)=2 \Rightarrow 2b=4 \Rightarrow b=2$

Se comprueba en la posición $a_{22}$:

$2+3(-1)-2=2-3-2=-3$

Las cuatro igualdades se cumplen con $a=-1$ y $b=2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=2}\textbf{ y } \boldsymbol{b=4}\textbf{, resolver la ecuación matricial } \boldsymbol{X=A\cdot B+3C}\textbf{.}$

La incógnita ya está despejada, así que basta con hacer las operaciones. Con esos valores las matrices son

$A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Se calcula el producto:

$A\cdot B= \begin{pmatrix} 2+8+0 & 8+4+0 \\ -1+4+2 & -4+2+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$

Se multiplica $C$ por el escalar 3:

$3C=3\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -9 \end{pmatrix}$

Y se suman las dos matrices elemento a elemento:

$X=A\cdot B+3C= \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 18 \\ 11 & -5 \end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es

$X=\begin{pmatrix} 4 & 18 \\ 11 & -5 \end{pmatrix}$