Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Si $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$, determinar la dimensión de la matriz $X$ que es solución de la ecuación $(A+B^t)\cdot X=C$. (1 punto)

Para que un producto de matrices exista, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda, y la matriz resultante tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda.

Se anotan las dimensiones de las matrices del enunciado:

$A$ es de dimensión $2\times 3$.

$B$ es de dimensión $3\times 2$, luego su traspuesta $B^t$ es de dimensión $2\times 3$.

$C$ es de dimensión $2\times 1$.

La suma $A+B^t$ se puede hacer porque las dos matrices tienen la misma dimensión, y el resultado la conserva:

$A+B^t= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

que es de dimensión $2\times 3$.

Si $X$ tiene dimensión $m\times n$, la ecuación $(A+B^t)\cdot X=C$ exige dos cosas:

que el producto exista, lo que obliga a $m=3$, el número de columnas de $A+B^t$;

que el resultado tenga la dimensión de $C$, que es $2\times 1$, lo que obliga a $n=1$.

$(2\times 3)\cdot(3\times 1)=(2\times 1)$

La matriz $X$ es de dimensión $3\times 1$, es decir, una matriz columna de tres elementos.