Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Una máquina envasadora rellena sacos de cemento. El peso (en kg) de cada saco sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 2.25 kg.

a) Suponiendo que $\mu$ toma el valor de 24 kg, ¿cuál es la probabilidad de que un lote con 36 sacos tenga un peso medio superior a 25.1250 kg?
b) Se toma una muestra de 15 sacos y se obtiene una media muestral del peso de 25.65 kg. Determinar, al nivel de confianza del 97 %, un intervalo para la media poblacional $\mu$.

$\textbf{a) Suponiendo que } \boldsymbol{\mu}\textbf{ toma el valor de 24 kg, ¿cuál es la probabilidad de que un lote con 36 sacos tenga un peso medio superior a 25,1250 kg?}$

El peso de un saco sigue una $N(24;\,2{,}25)$. Como se pregunta por el peso MEDIO de una muestra de 36 sacos, la variable que interesa es la media muestral, que por el teorema central del límite sigue

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(24,\dfrac{2{,}25}{\sqrt{36}}\right)=N(24;\,0{,}375)$

Se tipifica el valor 25,1250:

$P(\overline{X}>25{,}1250)=P\left(Z>\dfrac{25{,}1250-24}{0{,}375}\right) =P\left(Z>\dfrac{1{,}1250}{0{,}375}\right)=P(Z>3)$



La tabla da la probabilidad acumulada a la izquierda, así que se pasa al suceso contrario:

$P(Z>3)=1-P(Z\leq 3)=1-0{,}9987=0{,}0013$

La probabilidad de que el lote tenga un peso medio superior a 25,1250 kg es de 0,0013, es decir, poco más de una entre mil.

$\textbf{b) Se toma una muestra de 15 sacos y se obtiene una media muestral del peso de 25,65 kg. Determinar, al nivel de confianza del 97 \%, un intervalo para la media poblacional } \boldsymbol{\mu}\textbf{.}$

La población es normal con desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}015=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se calcula el error máximo con $\overline{x}=25{,}65$, $\sigma=2{,}25$ y $n=15$:

$E=2{,}17\cdot\dfrac{2{,}25}{\sqrt{15}}=\dfrac{4{,}8825}{3{,}8730}\approx 1{,}2607$

Los extremos del intervalo son:

$25{,}65-1{,}2607=24{,}3893$

$25{,}65+1{,}2607=26{,}9107$

Con una confianza del 97 %, el peso medio de los sacos está entre 24,39 y 26,91 kg.