Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

El 10 % de los habitantes de una región padece cierta enfermedad. El único test disponible para detectar esa enfermedad resulta positivo en el 97 % de las personas con la enfermedad. Este test también resulta positivo en el 1 % de las personas que no padecen la enfermedad. Si se realiza el test a una persona elegida al azar de dicha región, determinar:

a) La probabilidad de que el test resulte positivo.
b) Si el test resulta negativo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga la enfermedad?

$\textbf{a) La probabilidad de que el test resulte positivo.}$

Se elige una persona al azar de la región y se nombran los sucesos:

$E \equiv$ la persona elegida padece la enfermedad,
$\overline{E} \equiv$ la persona elegida no la padece,
$+ \equiv$ el test resulta positivo.

El 10 % de los habitantes padece la enfermedad:

$P(E)=0{,}10;\quad P(\overline{E})=0{,}90$

El test es positivo en el 97 % de los enfermos y en el 1 % de los sanos:

$P(+/E)=0{,}97;\quad P(+/\overline{E})=0{,}01$

Los sucesos $E$ y $\overline{E}$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(+)=P(E)\cdot P(+/E)+P(\overline{E})\cdot P(+/\overline{E})$

$P(+)=0{,}10\cdot 0{,}97+0{,}90\cdot 0{,}01=0{,}097+0{,}009=0{,}106$

La probabilidad de que el test resulte positivo es de 0,106.

$\textbf{b) Si el test resulta negativo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga la enfermedad?}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad de que el test sea negativo, que es la contraria de la anterior:

$P(-)=1-P(+)=1-0{,}106=0{,}894$

$P(E/-)=\dfrac{P(E)\cdot P(-/E)}{P(-)}=\dfrac{0{,}10\cdot 0{,}03}{0{,}894} =\dfrac{0{,}003}{0{,}894}$

$P(E/-)=\dfrac{1}{298}\approx 0{,}0034$

Si el test resulta negativo, la probabilidad de que la persona esté enferma es de solo $\dfrac{1}{298}\approx 0{,}0034$: un resultado negativo descarta la enfermedad con bastante seguridad.