Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Una empresa tiene un gran servidor web cuya velocidad de respuesta (Gigabits por segundo, Gbps) viene dada por la función $f(x)=8.5+\dfrac{3x}{1+x^2}$ para $x \geq 0$, donde $x$ (terabytes) es la memoria requerida en cada momento.

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la velocidad de respuesta del servidor según la memoria requerida. ¿Cuánta es la memoria requerida al alcanzar la velocidad de respuesta máxima? Calcular esa velocidad máxima. (2 puntos)
b) ¿Cuál es el límite de velocidad de respuesta del servidor a medida que aumenta la memoria requerida? (1 punto)

$\textbf{a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la velocidad de respuesta del servidor según la memoria requerida. ¿Cuánta es la memoria requerida al alcanzar la velocidad de respuesta máxima? Calcular esa velocidad máxima.}\ (2\ \text{puntos})$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada. Se deriva el cociente:

$f(x)=8{,}5+\dfrac{3x}{1+x^2}$

$f'(x)=\dfrac{3(1+x^2)-3x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{3+3x^2-6x^2}{(1+x^2)^2} =\dfrac{3(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo lo decide el numerador:

$3(1-x^2)=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$

Como el enunciado impone $x\geq 0$, el único punto crítico es $x=1$. Se toma un valor de prueba a cada lado:

$f'(0{,}5)=\dfrac{3(1-0{,}25)}{(1{,}25)^2}=\dfrac{2{,}25}{1{,}5625}>0$, la función crece.

$f'(2)=\dfrac{3(1-4)}{25}=\dfrac{-9}{25}<0$, la función decrece.



La velocidad de respuesta crece en $(0,1)$ y decrece en $(1,+\infty)$. Como la derivada pasa de positiva a negativa, en $x=1$ hay un máximo, y su valor es

$f(1)=8{,}5+\dfrac{3\cdot 1}{1+1}=8{,}5+1{,}5=10$

La velocidad de respuesta máxima se alcanza con 1 terabyte de memoria requerida y vale 10 Gbps.

$\textbf{b) ¿Cuál es el límite de velocidad de respuesta del servidor a medida que aumenta la memoria requerida?}\ (1\ \text{punto})$

Se calcula el límite en el infinito:

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(8{,}5+\dfrac{3x}{1+x^2}\right) =8{,}5+\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{1+x^2}$

En el cociente el grado del denominador es mayor que el del numerador, así que tiende a cero:

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x}{1+x^2}=0$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=8{,}5$

La recta $y=8{,}5$ es una asíntota horizontal: a medida que crece la memoria requerida, la velocidad de respuesta del servidor tiende a estabilizarse en 8,5 Gbps.