Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Se considera la función $f(x)=ax^3+3x^2+bx-4$.

a) Averiguar los valores de $a$ y $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo en el punto $(2,-8)$.
b) Si $a=0$ y $b=-11$, hallar el área encerrada entre la gráfica de la función y el eje OX en el intervalo $[4,5]$.

$\textbf{a) Averiguar los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un extremo en el punto } \boldsymbol{(2,-8)}\textbf{.}$

Que la función tenga un extremo en el punto $(2,-8)$ impone dos condiciones: que la gráfica pase por ese punto y que la derivada se anule en él.

Primera condición, $f(2)=-8$:

$a\cdot 2^3+3\cdot 2^2+b\cdot 2-4=-8 \Rightarrow 8a+12+2b-4=-8$

$8a+2b=-16 \Rightarrow 4a+b=-8$

Segunda condición, $f'(2)=0$. Se deriva primero:

$f'(x)=3ax^2+6x+b$

$f'(2)=12a+12+b=0 \Rightarrow 12a+b=-12$

Se resuelve el sistema restando la primera ecuación de la segunda:

$\begin{cases} 4a+b=-8 \\ 12a+b=-12 \end{cases} \Rightarrow 8a=-4 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$

$b=-8-4\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-8+2=-6$

Los valores pedidos son $a=-\dfrac{1}{2}$ y $b=-6$.

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{a=0}\textbf{ y } \boldsymbol{b=-11}\textbf{, hallar el área encerrada entre la gráfica de la función y el eje OX en el intervalo } \boldsymbol{[4,5]}\textbf{.}$

Con esos valores la función se reduce a una parábola:

$f(x)=3x^2-11x-4$

Antes de integrar se comprueba si corta al eje de abscisas dentro del intervalo:

$3x^2-11x-4=0 \Rightarrow x=\dfrac{11\pm\sqrt{121+48}}{6}=\dfrac{11\pm 13}{6}$

$x=4$ y $x=-\dfrac{1}{3}$. La única raíz del intervalo es $x=4$, que es justo su extremo, así que el recinto no se parte. Se mira el signo con un punto interior:

$f(4{,}5)=3\cdot 20{,}25-49{,}5-4=60{,}75-53{,}5=7{,}25>0$

La función es positiva, luego el área coincide con la integral definida.



$A=\int_{4}^{5}\left(3x^2-11x-4\right)dx=\left[x^3-\dfrac{11x^2}{2}-4x\right]_{4}^{5}$

$=\left(125-\dfrac{275}{2}-20\right)-\left(64-88-16\right) =-\dfrac{65}{2}+40=\dfrac{15}{2}$

El área encerrada entre la gráfica y el eje OX en $[4,5]$ es de $\dfrac{15}{2}=7{,}5$ unidades cuadradas.