Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Calcular el área encerrada bajo la curva $f(x)=x^3+3x^2-2$ y el eje OX en el intervalo $[-2,-1]$. (1 punto)

El área encerrada entre una curva y el eje de abscisas es la integral del valor absoluto de la función, así que lo primero es comprobar si la curva corta al eje dentro del intervalo $[-2,-1]$.

$x^3+3x^2-2=0$

Se tantea con los divisores del término independiente y se ve que $x=-1$ es raíz:

$(-1)^3+3(-1)^2-2=-1+3-2=0$

Dividiendo por $x+1$ se factoriza el polinomio:

$x^3+3x^2-2=(x+1)(x^2+2x-2)$

$x^2+2x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$

Las tres raíces son $x=-1$, $x=-1-\sqrt{3}\approx -2{,}73$ y $x=-1+\sqrt{3}\approx 0{,}73$. Dentro de $[-2,-1]$ solo está $x=-1$, y es justo el extremo del intervalo: la curva no lo corta por dentro.

Se comprueba el signo con un punto interior:

$f(-1{,}5)=-3{,}375+6{,}75-2=1{,}375>0$

La función es positiva en todo el intervalo, así que el área coincide con la integral definida.



$A=\int_{-2}^{-1}\left(x^3+3x^2-2\right)dx =\left[\dfrac{x^4}{4}+x^3-2x\right]_{-2}^{-1}$

$=\left(\dfrac{1}{4}-1+2\right)-\left(\dfrac{16}{4}-8+4\right) =\dfrac{5}{4}-0=\dfrac{5}{4}$

El área encerrada bajo la curva y el eje OX en el intervalo $[-2,-1]$ es de $\dfrac{5}{4}=1{,}25$ unidades cuadradas.