Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Despejar la incógnita $X$ en la ecuación matricial $C(A+X)=B-2X$. (1 punto)

Se trata de despejar la matriz $X$ sin dividir por matrices: solo se pueden sumar, restar y multiplicar por la izquierda o por la derecha, y hay que respetar el lado por el que multiplica cada factor.

Se empieza quitando el paréntesis con la propiedad distributiva:

$C(A+X)=B-2X \Rightarrow CA+CX=B-2X$

Se agrupan en el primer miembro los términos que llevan $X$ y en el segundo los que no:

$CX+2X=B-CA$

En los dos sumandos del primer miembro la incógnita está multiplicada por la izquierda, así que se puede sacar factor común por la izquierda, escribiendo $2X=2IX$ con $I$ la matriz identidad:

$CX+2IX=(C+2I)X=B-CA$

Finalmente se multiplica por la izquierda por la inversa de $C+2I$, que es el lado por el que esa matriz multiplica a la incógnita:

$(C+2I)^{-1}(C+2I)X=(C+2I)^{-1}(B-CA)$

$IX=(C+2I)^{-1}(B-CA)$

La solución de la ecuación matricial es

$X=(C+2I)^{-1}\left(B-CA\right)$

siempre que la matriz $C+2I$ sea cuadrada y regular, es decir, que su determinante no sea nulo; si $|C+2I|=0$ no existe la inversa y la ecuación no se puede despejar así.