Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En un instituto, 44 de cada 100 chicas y 5 de cada 10 chicos de segundo curso de Bachillerato están matriculados en la asignatura Empresa y diseño de modelos de negocio. Hay 150 chicas y 75 chicos en segundo curso de Bachillerato.

a) Si se elige un estudiante al azar de segundo curso de Bachillerato, hallar la probabilidad de que no esté matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio.
b) Sabiendo que el estudiante elegido está matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

$\textbf{a) Si se elige un estudiante al azar de segundo curso de Bachillerato, hallar la probabilidad de que no esté matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio.}$

En segundo curso hay 150 chicas y 75 chicos, en total 225 estudiantes. Se elige uno al azar y se nombran los sucesos:

$A \equiv$ el estudiante elegido es chica,
$O \equiv$ el estudiante elegido es chico,
$E \equiv$ el estudiante elegido está matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio.

$P(A)=\dfrac{150}{225}=\dfrac{2}{3};\quad P(O)=\dfrac{75}{225}=\dfrac{1}{3}$

Están matriculadas 44 de cada 100 chicas y 5 de cada 10 chicos:

$P(E/A)=\dfrac{44}{100}=0{,}44;\quad P(E/O)=\dfrac{5}{10}=0{,}5$

Los sucesos $A$ y $O$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(E)=P(A)\cdot P(E/A)+P(O)\cdot P(E/O)=\dfrac{2}{3}\cdot 0{,}44+\dfrac{1}{3}\cdot 0{,}5$

$P(E)=\dfrac{22}{75}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{44+25}{150}=\dfrac{69}{150}=\dfrac{23}{50}=0{,}46$

El suceso pedido es el contrario:

$P(\overline{E})=1-P(E)=1-0{,}46=0{,}54$

La probabilidad de que el estudiante elegido no esté matriculado en esa asignatura es de 0,54.

$\textbf{b) Sabiendo que el estudiante elegido está matriculado en Empresa y diseño de modelos de negocio, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?}$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(A/E)=\dfrac{P(A)\cdot P(E/A)}{P(E)}=\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot 0{,}44}{0{,}46} =\dfrac{\dfrac{22}{75}}{\dfrac{23}{50}}$

$P(A/E)=\dfrac{22}{75}\cdot\dfrac{50}{23}=\dfrac{1100}{1725}=\dfrac{44}{69}\approx 0{,}6377$

Si el estudiante elegido está matriculado en la asignatura, la probabilidad de que sea chica es $\dfrac{44}{69}\approx 0{,}6377$.