Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

El número de viajes realizados anualmente por habitantes de Castilla y León a comunidades limítrofes sigue una distribución normal cuya desviación típica es $\sigma=10$. Si seleccionamos una muestra de 625 viajeros, la media de viajes realizados por los mismos es de 16.

a) ¿Cuál es el intervalo de confianza para la media de viajes anuales en toda la población para un nivel de significación del 4 %?
b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 90 %?

$\textbf{a) ¿Cuál es el intervalo de confianza para la media de viajes anuales en toda la población para un nivel de significación del 4 \%?}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma=10$, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

El nivel de significación es $\alpha=0{,}04$, de modo que el nivel de confianza es $1-\alpha=0{,}96$ y

$\alpha/2=0{,}02 \Rightarrow P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}02=0{,}98 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}05$



Se calcula el error máximo con $\overline{x}=16$, $\sigma=10$ y $n=625$:

$E=2{,}05\cdot\dfrac{10}{\sqrt{625}}=2{,}05\cdot\dfrac{10}{25}=2{,}05\cdot 0{,}4=0{,}82$

Los extremos del intervalo son:

$16-0{,}82=15{,}18$

$16+0{,}82=16{,}82$

Con una confianza del 96 %, el número medio de viajes anuales de la población está entre 15,18 y 16,82.

$\textbf{b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 90 \%?}$

Ahora el nivel de confianza es del 90 %, luego $\alpha/2=0{,}05$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}05=0{,}95 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}645$



Se aplica directamente la fórmula del error máximo con $n=500$:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}645\cdot\dfrac{10}{\sqrt{500}} =\dfrac{16{,}45}{22{,}3607}$

$E\approx 0{,}7357$

Con una muestra de 500 viajeros y una confianza del 90 %, el error máximo admisible sería de 0,7357 viajes, menor que el del apartado anterior porque, aunque la muestra es más pequeña, la exigencia de confianza baja bastante.