Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función

$f(x)=\begin{cases} x^2+x-2 & \text{si } x \leq 1 \\ a+\ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$

a) Determinar el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio.
b) Para $a=1$, estudiar los puntos de corte con los ejes, monotonía y extremos relativos.

$\textbf{a) Determinar el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en todo su dominio.}$

El dominio de la función es todo $\mathbb{R}$: el primer trozo es un polinomio y el segundo, $a+\ln x$, está definido para $x>0$, que contiene al intervalo $(1,+\infty)$ donde se usa.

Dentro de cada trozo la función es continua, así que el único punto dudoso es el empalme $x=1$. Se imponen las condiciones de continuidad.

Valor de la función. Como $x=1$ cumple $x\leq 1$, se usa el primer trozo:

$f(1)=1^2+1-2=0$

Límite por la izquierda:

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\left(x^2+x-2\right)=0$

Límite por la derecha:

$\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\left(a+\ln x\right)=a+\ln 1=a+0=a$

Para que la función sea continua los tres valores deben coincidir:

$a=0$

Con $a=0$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{, estudiar los puntos de corte con los ejes, monotonía y extremos relativos.}$

Con $a=1$ la función es

$f(x)= \begin{cases} x^2+x-2 & \text{si } x\leq 1 \\ 1+\ln x & \text{si } x>1 \end{cases}$

Puntos de corte con el eje de ordenadas. Se hace $x=0$, que cae en el primer trozo:

$f(0)=0^2+0-2=-2 \Rightarrow (0,-2)$

Puntos de corte con el eje de abscisas. Se iguala a cero cada trozo y se comprueba si la solución pertenece a él.

Primer trozo:

$x^2+x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}$

$x=-2$ y $x=1$, y las dos cumplen $x\leq 1$: los cortes son $(-2,0)$ y $(1,0)$.

Segundo trozo:

$1+\ln x=0 \Rightarrow \ln x=-1 \Rightarrow x=e^{-1}\approx 0{,}37$

Este valor no cumple $x>1$, así que se descarta.

Monotonía. Se estudia el signo de la derivada en cada trozo.

$f'(x)= \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x<1 \\ \dfrac{1}{x} & \text{si } x>1 \end{cases}$

En el primer trozo:

$2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

$f'(-1)=-1<0$, la función decrece; $f'(0)=1>0$, la función crece.

En el segundo trozo $f'(x)=\dfrac{1}{x}>0$ para todo $x>1$, así que la función crece.



La función decrece en $\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)$ y crece en $\left(-\dfrac{1}{2},1\right)$ y en $(1,+\infty)$.

Extremos relativos. La derivada pasa de negativa a positiva en $x=-\dfrac{1}{2}$, luego ahí hay un mínimo relativo:

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{9}{4}$

El mínimo relativo está en $\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{9}{4}\right)$ y no hay ningún otro extremo. Conviene advertir que con $a=1$ la función ya no es continua en $x=1$: allí salta de $f(1)=0$ a $\lim_{x\to 1^+}f(x)=1$, y por eso el punto se marca hueco en el esquema de signos.