Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una concentración deportiva, el médico indica que cada deportista debe tomar entre un mínimo de 110 mg y un máximo de 250 mg de vitamina C al día, y también entre 80 y 150 mg de magnesio. Los deportistas toman comprimidos de VITAMIN que contienen, cada uno, 40 mg de vitamina C y 10 mg de magnesio. Asimismo, ingieren comprimidos MAGNE con 10 mg de vitamina C y 20 mg de magnesio cada uno.

Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, el número de comprimidos de cada tipo que son necesarios si se desea tomar el menor número posible de comprimidos e ingerir la dosis necesaria de vitamina C y de magnesio. (3 puntos)

Se llama $x$ al número de comprimidos de VITAMIN e $y$ al número de comprimidos de MAGNE que toma cada deportista al día.

Se ordena la información en una tabla.

$\text{Comprimido}$	$\text{Vitamina C (mg)}$	$\text{Magnesio (mg)}$
VITAMIN ($x$)	$40x$	$10x$
MAGNE ($y$)	$10y$	$20y$
Totales	$40x+10y$	$10x+20y$

La función objetivo, que se quiere minimizar, es el número total de comprimidos:

$z=f(x,y)=x+y$

Las restricciones son las dos franjas de dosis que fija el médico.

Vitamina C entre 110 y 250 mg al día:

$110\leq 40x+10y\leq 250 \Rightarrow 11\leq 4x+y\leq 25$

Magnesio entre 80 y 150 mg al día:

$80\leq 10x+20y\leq 150 \Rightarrow 8\leq x+2y\leq 15$

Y el número de comprimidos no puede ser negativo:

$x\geq 0;\ y\geq 0$

El sistema de restricciones es

$\begin{cases} 4x+y\geq 11 \\ 4x+y\leq 25 \\ x+2y\geq 8 \\ x+2y\leq 15 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Como las dos dosis están acotadas por arriba y por abajo, la región factible es un cuadrilátero cerrado. La región factible es la zona coloreada en azul.





$4x+y=11$

$x$	$y=11-4x$
1	7
2	3

$x+2y=8$

$x$	$y=\dfrac{8-x}{2}$
2	3
6	1

Los vértices salen de resolver los sistemas de las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$: corte de $4x+y=11$ con $x+2y=8$. De la primera, $y=11-4x$:

$x+2(11-4x)=8 \Rightarrow x+22-8x=8 \Rightarrow -7x=-14 \Rightarrow x=2$

$y=11-8=3 \Rightarrow A(2,3)$

Vértice $B$: corte de $x+2y=8$ con $4x+y=25$.

$4(8-2y)+y=25 \Rightarrow 32-8y+y=25 \Rightarrow -7y=-7 \Rightarrow y=1$

$x=8-2=6 \Rightarrow B(6,1)$

Vértice $C$: corte de $4x+y=25$ con $x+2y=15$.

$4(15-2y)+y=25 \Rightarrow 60-8y+y=25 \Rightarrow -7y=-35 \Rightarrow y=5$

$x=15-10=5 \Rightarrow C(5,5)$

Vértice $D$: corte de $x+2y=15$ con $4x+y=11$.

$(11-4x)\ \text{en}\ x+2y=15 \Rightarrow x+22-8x=15 \Rightarrow -7x=-7 \Rightarrow x=1$

$y=11-4=7 \Rightarrow D(1,7)$

El recinto es acotado y la función objetivo es lineal, así que el mínimo se alcanza en un vértice. Se valora en los cuatro:

$f(A)=f(2,3)=2+3=5$

$f(B)=f(6,1)=6+1=7$

$f(C)=f(5,5)=5+5=10$

$f(D)=f(1,7)=1+7=8$

El mínimo se alcanza en el vértice $A(2,3)$, con 5 comprimidos en total, que además son un número entero. Se comprueba que ahí las dosis son correctas:

Vitamina C: $40\cdot 2+10\cdot 3=110$ mg, el mínimo exigido.

Magnesio: $10\cdot 2+20\cdot 3=80$ mg, también el mínimo exigido.

Cada deportista debe tomar 2 comprimidos de VITAMIN y 3 de MAGNE, 5 comprimidos en total.