Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Un ayuntamiento estudia la movilidad hacia un campus universitario. Se considera que el 45 % de los ciudadanos utiliza el transporte público para desplazarse al campus. Se pregunta a 10 ciudadanos a su llegada al campus si han utilizado el transporte público.

a) Calcular la probabilidad de que exactamente 8 de ellos usen transporte público. (1 punto)
b) Calcular la probabilidad de que más de 8 ciudadanos usen transporte público. (1 punto)

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que exactamente 8 de ellos usen transporte público.}\ (1\ \text{punto})$

Se pregunta a 10 ciudadanos y de cada uno solo interesa si usa o no el transporte público, con la misma probabilidad para todos y de forma independiente. Se llama $X$ al número de los 10 que sí lo usan.

Como el 45 % de los ciudadanos utiliza el transporte público,

$X\sim B(10;\ 0{,}45)$

La probabilidad de cada valor viene dada por

$P(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$

Para $r=8$:

$P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot 0{,}45^8\cdot 0{,}55^2=45\cdot 0{,}45^8\cdot 0{,}3025$

$P(X=8)=0{,}0229$

La probabilidad de que exactamente 8 de los 10 ciudadanos usen transporte público es de 0,0229.

$\textbf{b) Calcular la probabilidad de que más de 8 ciudadanos usen transporte público.}\ (1\ \text{punto})$

Que sean más de 8 significa que sean 9 o 10, sucesos incompatibles:

$P(X>8)=P(X=9)+P(X=10)$

$P(X=9)=\binom{10}{9}\cdot 0{,}45^9\cdot 0{,}55=10\cdot 0{,}45^9\cdot 0{,}55=0{,}0042$

$P(X=10)=\binom{10}{10}\cdot 0{,}45^{10}=0{,}45^{10}=0{,}0003$

$P(X>8)=0{,}0042+0{,}0003=0{,}0045$

La probabilidad de que más de 8 de los 10 ciudadanos usen transporte público es de 0,0045.