Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Un ayuntamiento estudia la movilidad hacia un campus universitario. Un estudio reciente midió el tiempo de retraso según lo previsto (en minutos) que experimentaron 100 ciudadanos al circular por aceras o carriles bici hacia el campus universitario. El tiempo medio de retraso en la muestra es de 4.2 minutos, con una desviación típica de 1.5 minutos.

a) Calcular un intervalo de confianza del 95 % para la media del tiempo de retraso que experimentan los ciudadanos al circular por aceras o carriles bici hacia el campus universitario en la población. (1 punto)
b) Calcular qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de ciudadanos para que, con un nivel de confianza del 99 %, el error máximo admisible sea de 0.12 minutos en la estimación de la media. (1 punto)

$\textbf{a) Calcular un intervalo de confianza del 95 \% para la media del tiempo de retraso que experimentan los ciudadanos al circular por aceras o carriles bici hacia el campus universitario en la población.}\ (1\ \text{punto})$

La muestra es grande ($n=100$), de modo que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha=0{,}95$, luego $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}025=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



Se calcula el error máximo con $\overline{x}=4{,}2$, $\sigma=1{,}5$ y $n=100$:

$E=1{,}96\cdot\dfrac{1{,}5}{\sqrt{100}}=1{,}96\cdot\dfrac{1{,}5}{10}=1{,}96\cdot 0{,}15=0{,}294$

Los extremos del intervalo son:

$4{,}2-0{,}294=3{,}906$

$4{,}2+0{,}294=4{,}494$

Con una confianza del 95 %, el tiempo medio de retraso está entre 3,906 y 4,494 minutos.

$\textbf{b) Calcular qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de ciudadanos para que, con un nivel de confianza del 99 \%, el error máximo admisible sea de 0,12 minutos en la estimación de la media.}\ (1\ \text{punto})$

Ahora el nivel de confianza es del 99 %, de modo que $\alpha/2=0{,}005$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$



Se impone que el error máximo no pase de 0,12 minutos y se despeja el tamaño de la muestra:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 0{,}12 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{0{,}12}$

$\sqrt{n}\geq\dfrac{2{,}575\cdot 1{,}5}{0{,}12}=\dfrac{3{,}8625}{0{,}12}=32{,}1875$

$n\geq 32{,}1875^2=1036{,}035$

Como el tamaño de la muestra es un número entero y la desigualdad debe cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Harían falta al menos 1037 ciudadanos para que, con una confianza del 99 %, el error no supere los 0,12 minutos.