Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Un ayuntamiento estudia la movilidad hacia un campus universitario. El estudio detecta que, para ir al campus, el 20 % de los ciudadanos circula por aceras o carriles bici (a pie o bicicleta) y el resto circula por la calzada (patinete, coche o trasporte público). Entre los usuarios de aceras o carriles bici únicamente el 10 % encuentra problemas de circulación, porcentaje que llega al 30 % entre los usuarios de la calzada.

a) Si se elige un usuario al azar que va al campus, calcular la probabilidad de que sufra problemas de circulación. (1 punto)
b) Sabiendo que, al ir al campus, un usuario ha tenido problemas de circulación, ¿con qué probabilidad ha circulado por la calzada? (1 punto)

$\textbf{a) Si se elige un usuario al azar que va al campus, calcular la probabilidad de que sufra problemas de circulación.}\ (1\ \text{punto})$

Se elige al azar un usuario que va al campus y se nombran los sucesos:

$B \equiv$ el usuario circula por aceras o carriles bici,
$C \equiv$ el usuario circula por la calzada,
$P \equiv$ el usuario sufre problemas de circulación.

El 20 % circula por aceras o carriles bici y el resto por la calzada:

$P(B)=0{,}20$

$P(C)=1-0{,}20=0{,}80$

Entre los primeros solo el 10 % tiene problemas, y entre los segundos el 30 %:

$P(P/B)=0{,}10$

$P(P/C)=0{,}30$

Los sucesos $B$ y $C$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(P)=P(B)\cdot P(P/B)+P(C)\cdot P(P/C)$

$P(P)=0{,}20\cdot 0{,}10+0{,}80\cdot 0{,}30=0{,}02+0{,}24=0{,}26$

La probabilidad de que un usuario elegido al azar sufra problemas de circulación es de 0,26, es decir, un 26 %.

$\textbf{b) Sabiendo que, al ir al campus, un usuario ha tenido problemas de circulación, ¿con qué probabilidad ha circulado por la calzada?}\ (1\ \text{punto})$

Se pide una probabilidad condicionada en sentido contrario al del árbol, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(C/P)=\dfrac{P(C)\cdot P(P/C)}{P(P)}$

El denominador es la probabilidad total del apartado anterior:

$P(C/P)=\dfrac{0{,}80\cdot 0{,}30}{0{,}26}=\dfrac{0{,}24}{0{,}26}=\dfrac{12}{13}\approx 0{,}9231$

Si un usuario ha tenido problemas de circulación, la probabilidad de que haya circulado por la calzada es $\dfrac{12}{13}\approx 0{,}9231$, es decir, un 92,31 %.