Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Una planta de carburantes analiza la cantidad de gasolina, medida en miles de litros, almacenada en el nuevo depósito instalado, que viene dada por $f(t)$, donde $t$ es el tiempo (en horas):

$f(t)=\begin{cases} \dfrac{3}{4}t^2+2 & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\[2mm] \dfrac{15}{t+1} & \text{si } t > 2 \end{cases}$

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo $(2,\infty)$. (1.5 puntos)

En el intervalo $(2,+\infty)$ la función es el segundo trozo:

$f(t)=\dfrac{15}{t+1}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada. Se deriva escribiendo la función como una potencia:

$f(t)=15(t+1)^{-1} \Rightarrow f'(t)=-15(t+1)^{-2}=\dfrac{-15}{(t+1)^2}$

Esta derivada no se anula nunca: el numerador es la constante $-15$, distinta de cero, así que no hay puntos críticos en el intervalo.

Además el denominador $(t+1)^2$ es siempre positivo para $t>2$, y el numerador es negativo, de modo que

$f'(t)=\dfrac{-15}{(t+1)^2}<0 \quad\text{para todo } t>2$

Por ejemplo, $f'(3)=\dfrac{-15}{16}<0$.



La función es decreciente en todo el intervalo $(2,+\infty)$ y no tiene máximos ni mínimos relativos: a partir de las dos horas la cantidad de gasolina almacenada solo disminuye, acercándose a cero a largo plazo, pues

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{15}{t+1}=0$