Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Una planta de carburantes analiza la cantidad de gasolina, medida en miles de litros, almacenada en el nuevo depósito instalado, que viene dada por $f(t)$, donde $t$ es el tiempo (en horas):

$f(t)=\begin{cases} \dfrac{3}{4}t^2+2 & \text{si } 0 \leq t \leq 2 \\[2mm] \dfrac{15}{t+1} & \text{si } t > 2 \end{cases}$

Aplicar el concepto de límite para estudiar si la función es continua. (1.5 puntos)

La función está definida a trozos en $[0,+\infty)$. En cada trozo por separado es continua:

$f(t)=\dfrac{3}{4}t^2+2$ es polinómica, luego continua en $[0,2]$.

$f(t)=\dfrac{15}{t+1}$ es una función racional que solo se anularía el denominador en $t=-1$, valor que no pertenece a $(2,+\infty)$; por tanto es continua en $(2,+\infty)$.

El único punto que hay que estudiar es el de empalme, $t=2$. Se comprueban las tres condiciones de la continuidad.

Valor de la función. Como $t=2$ cumple $0\leq t\leq 2$, se usa el primer trozo:

$f(2)=\dfrac{3}{4}\cdot 2^2+2=3+2=5$

Límite por la izquierda:

$\lim_{t\to 2^-}f(t)=\lim_{t\to 2^-}\left(\dfrac{3}{4}t^2+2\right)=\dfrac{3}{4}\cdot 4+2=5$

Límite por la derecha:

$\lim_{t\to 2^+}f(t)=\lim_{t\to 2^+}\dfrac{15}{t+1}=\dfrac{15}{2+1}=\dfrac{15}{3}=5$

Los dos límites laterales existen y valen lo mismo, de modo que existe el límite:

$\lim_{t\to 2}f(t)=5=f(2)$

La función es continua en $t=2$ y, por tanto, en todo su dominio $[0,+\infty)$: la cantidad de gasolina almacenada evoluciona sin saltos.