Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Se ha publicado una encuesta sobre hábitos deportivos según la cual seis de cada diez personas practicaron deporte en el último año, ya sea de forma periódica u ocasional, en su tiempo libre. Por otra parte, entre las personas que practicaban deporte, el 85 % presenció, al menos una vez al año (en vivo o a través de medios audiovisuales) un evento deportivo mientras que, entre las que no practicaban deporte, fue el 70 %.

El tiempo (en horas) en el que las personas que practicaron deporte presenciaron eventos deportivos sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 10 horas.

a) Suponiendo que $\mu$ toma el valor de 25, calcular el porcentaje de personas que presenciaron eventos deportivos más de 30 horas al año. (1 punto)
b) Se elige al azar una muestra de 49 personas y se obtiene una media muestral de 26 horas. Determinar, al nivel de confianza del 98 %, un intervalo de confianza para el número medio de horas que presenciaron eventos deportivos en dicha población. (1 punto)

$\textbf{a) Suponiendo que } \boldsymbol{\mu}\textbf{ toma el valor de 25, calcular el porcentaje de personas que presenciaron eventos deportivos más de 30 horas al año.}\ (1\ \text{punto})$

Se llama $X$ al número de horas al año que una persona presenció eventos deportivos. Por el enunciado

$X\sim N(25,10)$

Se pide $P(X>30)$. Se tipifica con $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$:

$P(X>30)=P\left(Z>\dfrac{30-25}{10}\right)=P(Z>0{,}5)$



La tabla da la probabilidad acumulada a la izquierda, así que se pasa al suceso contrario:

$P(Z>0{,}5)=1-P(Z\leq 0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085$

Presenciaron eventos deportivos más de 30 horas al año el 30,85 % de esas personas.

$\textbf{b) Se elige al azar una muestra de 49 personas y se obtiene una media muestral de 26 horas. Determinar, al nivel de confianza del 98 \%, un intervalo de confianza para el número medio de horas que presenciaron eventos deportivos en dicha población.}\ (1\ \text{punto})$

La población es normal y se conoce la desviación típica, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 98 % se tiene $1-\alpha=0{,}98$, luego $\alpha/2=0{,}01$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}01=0{,}99 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}33$



Se calcula el error máximo con $\overline{x}=26$, $\sigma=10$ y $n=49$:

$E=2{,}33\cdot\dfrac{10}{\sqrt{49}}=2{,}33\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{233}{70}\approx 3{,}33$

Los extremos del intervalo son:

$26-3{,}33=22{,}67$

$26+3{,}33=29{,}33$

Con una confianza del 98 %, el número medio de horas que esas personas presenciaron eventos deportivos está entre 22,67 y 29,33 horas al año.