Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Se ha publicado una encuesta sobre hábitos deportivos según la cual seis de cada diez personas practicaron deporte en el último año, ya sea de forma periódica u ocasional, en su tiempo libre. Por otra parte, entre las personas que practicaban deporte, el 85 % presenció, al menos una vez al año (en vivo o a través de medios audiovisuales) un evento deportivo mientras que, entre las que no practicaban deporte, fue el 70 %.

Se seleccionan 8 personas al azar entre las que no practicaron deporte.

a) Calcular la probabilidad de que exactamente la mitad de ellas hayan presenciado un evento deportivo. (1 punto)
b) Calcular la probabilidad de que alguna de ellas haya presenciado un evento deportivo. (1 punto)

$\textbf{a) Calcular la probabilidad de que exactamente la mitad de ellas hayan presenciado un evento deportivo.}\ (1\ \text{punto})$

Se eligen 8 personas entre las que no practicaron deporte y de cada una solo interesa si presenció o no un evento deportivo, con la misma probabilidad para todas y de forma independiente. Se llama $X$ al número de las 8 que presenciaron algún evento.

Entre las personas que no practicaban deporte presenció un evento el 70 %, de modo que

$X\sim B(8;\ 0{,}7)$

La probabilidad de cada valor viene dada por

$P(X=r)=\binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$

La mitad de 8 son 4:

$P(X=4)=\binom{8}{4}\cdot 0{,}7^4\cdot 0{,}3^4=70\cdot 0{,}2401\cdot 0{,}0081$

$P(X=4)=0{,}1361$

La probabilidad de que exactamente 4 de las 8 personas hayan presenciado un evento deportivo es de 0,1361.

$\textbf{b) Calcular la probabilidad de que alguna de ellas haya presenciado un evento deportivo.}\ (1\ \text{punto})$

Que alguna haya presenciado un evento es lo contrario de que no lo haya presenciado ninguna, así que conviene pasar al suceso contrario:

$P(X\geq 1)=1-P(X=0)$

$P(X=0)=\binom{8}{0}\cdot 0{,}7^0\cdot 0{,}3^8=0{,}3^8=0{,}00006561$

$P(X\geq 1)=1-0{,}00006561=0{,}99993$

La probabilidad de que alguna de las 8 personas haya presenciado un evento deportivo es de 0,9999: es prácticamente seguro.