Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Se ha publicado una encuesta sobre hábitos deportivos según la cual seis de cada diez personas practicaron deporte en el último año, ya sea de forma periódica u ocasional, en su tiempo libre. Por otra parte, entre las personas que practicaban deporte, el 85 % presenció, al menos una vez al año (en vivo o a través de medios audiovisuales) un evento deportivo mientras que, entre las que no practicaban deporte, fue el 70 %.

a) Definir correctamente los sucesos y escribir la información anterior en términos de probabilidad. (1 punto)
b) Se selecciona una persona al azar y resulta que no ha presenciado ningún evento deportivo. Determinar si es más probable que haya practicado deporte o que no lo haya hecho. (1 punto)

$\textbf{a) Definir correctamente los sucesos y escribir la información anterior en términos de probabilidad.}\ (1\ \text{punto})$

Se elige una persona al azar de la encuesta y se nombran los sucesos:

$D \equiv$ la persona elegida practicó deporte en el último año,
$\overline{D} \equiv$ la persona elegida no practicó deporte,
$E \equiv$ la persona elegida presenció algún evento deportivo.

Seis de cada diez personas practicaron deporte:

$P(D)=\dfrac{6}{10}=0{,}6$

$P(\overline{D})=1-0{,}6=0{,}4$

Entre las que practicaban deporte presenció un evento el 85 %, y entre las que no, el 70 %:

$P(E/D)=0{,}85$

$P(E/\overline{D})=0{,}70$

Los sucesos $D$ y $\overline{D}$ forman un sistema completo, así que la información se ordena en un diagrama de árbol.



$\textbf{b) Se selecciona una persona al azar y resulta que no ha presenciado ningún evento deportivo. Determinar si es más probable que haya practicado deporte o que no lo haya hecho.}\ (1\ \text{punto})$

Hay que comparar $P(D/\overline{E})$ con $P(\overline{D}/\overline{E})$, dos probabilidades a posteriori que se calculan con el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad total de no presenciar ningún evento:

$P(\overline{E})=P(D)\cdot P(\overline{E}/D)+P(\overline{D})\cdot P(\overline{E}/\overline{D})$

$P(\overline{E})=0{,}6\cdot 0{,}15+0{,}4\cdot 0{,}30=0{,}09+0{,}12=0{,}21$

Ahora las dos probabilidades pedidas:

$P(D/\overline{E})=\dfrac{P(D)\cdot P(\overline{E}/D)}{P(\overline{E})} =\dfrac{0{,}09}{0{,}21}=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}4286$

$P(\overline{D}/\overline{E})=\dfrac{P(\overline{D})\cdot P(\overline{E}/\overline{D})}{P(\overline{E})} =\dfrac{0{,}12}{0{,}21}=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$

Las dos suman 1, como debe ser. Como $\dfrac{4}{7}>\dfrac{3}{7}$, es más probable que la persona elegida NO haya practicado deporte.