Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según la función

$m(t)=\dfrac{1}{200}t^3-\dfrac{1}{10}t^2+\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}$

donde $m$ es la cantidad de material en kilogramos y $t$ la hora del día.

¿Cuánto material contaminante arroja en un día? Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función. (1.5 puntos)

La cantidad total arrojada a lo largo del día es el área que encierra la función durante las 24 horas, es decir, la integral definida de $m(t)$ entre 0 y 24.

$\int_{0}^{24}\left(\dfrac{1}{200}t^3-\dfrac{1}{10}t^2+\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}\right)dt$

Se calcula una primitiva término a término:

$\int\left(\dfrac{1}{200}t^3-\dfrac{1}{10}t^2+\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}\right)dt =\dfrac{t^4}{800}-\dfrac{t^3}{30}+\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{t}{2}+C$

Se aplica la regla de Barrow:

$\left[\dfrac{t^4}{800}-\dfrac{t^3}{30}+\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{t}{2}\right]_{0}^{24} =\dfrac{331776}{800}-\dfrac{13824}{30}+\dfrac{576}{4}+\dfrac{24}{2}-0$

$=414{,}72-460{,}8+144+12=109{,}92$

En un día la fábrica arroja 109,92 kilogramos de material contaminante.

Para el crecimiento y el decrecimiento se estudia el signo de la primera derivada.

$m'(t)=\dfrac{3}{200}t^2-\dfrac{1}{5}t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3t^2-40t+100}{200}$

$m'(t)=0 \Rightarrow 3t^2-40t+100=0 \Rightarrow t=\dfrac{40\pm 20}{6}$

$t=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33 \quad\text{y}\quad t=10$

Estos dos puntos parten el día en tres tramos. Se toma un valor de prueba en cada uno:

$m'(1)=\dfrac{3-40+100}{200}=\dfrac{63}{200}>0$, la función crece.

$m'(5)=\dfrac{75-200+100}{200}=-\dfrac{25}{200}<0$, la función decrece.

$m'(20)=\dfrac{1200-800+100}{200}=\dfrac{500}{200}>0$, la función crece.



La cantidad arrojada crece en $\left(0,\dfrac{10}{3}\right)$ y en $(10,24)$, y decrece en $\left(\dfrac{10}{3},10\right)$. En consecuencia hay un máximo relativo a las 3 horas y 20 minutos y un mínimo relativo a las 10 horas.