Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según la función

$m(t)=\dfrac{1}{200}t^3-\dfrac{1}{10}t^2+\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}$

donde $m$ es la cantidad de material en kilogramos y $t$ la hora del día.

¿A qué hora del día arroja la máxima cantidad de material contaminante? ¿Y a qué hora la mínima? Determinar la cantidad arrojada en ambos momentos. (1.5 puntos)

Los máximos y mínimos de la función se localizan con la primera derivada, que se anula en los puntos críticos.

$m(t)=\dfrac{1}{200}t^3-\dfrac{1}{10}t^2+\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}$

$m'(t)=\dfrac{3}{200}t^2-\dfrac{1}{5}t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3t^2-40t+100}{200}$

$m'(t)=0 \Rightarrow 3t^2-40t+100=0$

$t=\dfrac{40\pm\sqrt{1600-1200}}{6}=\dfrac{40\pm\sqrt{400}}{6}=\dfrac{40\pm 20}{6}$

$t=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33 \quad\text{y}\quad t=10$

Se decide de qué tipo es cada uno con la segunda derivada:

$m''(t)=\dfrac{3}{100}t-\dfrac{1}{5}$

$m''\left(\dfrac{10}{3}\right)=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{10}<0$, luego en $t=\dfrac{10}{3}$ hay un máximo.

$m''(10)=\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}>0$, luego en $t=10$ hay un mínimo.



Se calculan las cantidades arrojadas en esos dos momentos:

$m\left(\dfrac{10}{3}\right)=\dfrac{1}{200}\cdot\dfrac{1000}{27}-\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{100}{9}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{10}{3}+\dfrac{1}{2}$

$m\left(\dfrac{10}{3}\right)=\dfrac{5}{27}-\dfrac{10}{9}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{67}{54}\approx 1{,}24$

$m(10)=\dfrac{1000}{200}-\dfrac{100}{10}+\dfrac{10}{2}+\dfrac{1}{2}=5-10+5+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

La máxima cantidad se arroja a las $\dfrac{10}{3}$ horas, es decir, a las 3 horas y 20 minutos, y son $\dfrac{67}{54}\approx 1{,}24$ kilogramos. La mínima se arroja a las 10 horas, y son 0,5 kilogramos.

Conviene señalar que estos son el máximo y el mínimo relativos. Si se recorre el día entero, la función vuelve a crecer a partir de las 10 horas y al final de la jornada llega a

$m(24)=\dfrac{13824}{200}-\dfrac{576}{10}+12+\dfrac{1}{2}=24{,}02$

kilogramos, de manera que el mayor valor de todo el día se alcanza al final de él.