Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema con los parámetros $a$ y $b$:

$\begin{cases} ax+2y+z=1 \\ x+by+2z=4 \\ 3x+y+bz=5 \end{cases}$

Resolver el sistema para $a=1$ y $b=-2$. (1.5 puntos)

Con $a=1$ y $b=-2$ el sistema queda

$\begin{cases} x+2y+z=1 \\ x-2y+2z=4 \\ 3x+y-2z=5 \end{cases}$

Antes de resolver conviene comprobar que tiene solución única:

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} =1(4-2)-2(-2-6)+(1+6)=2+16+7=25\neq 0$

El sistema es compatible determinado. Se resuelve por sustitución. De la primera ecuación:

$x=1-2y-z$

Se sustituye en la segunda:

$(1-2y-z)-2y+2z=4 \Rightarrow 1-4y+z=4 \Rightarrow z=3+4y$

Se sustituye ahora en la tercera:

$3(1-2y-z)+y-2z=5 \Rightarrow 3-6y-3z+y-2z=5 \Rightarrow -5y-5z=2$

$y+z=-\dfrac{2}{5}$

Y con $z=3+4y$:

$y+3+4y=-\dfrac{2}{5} \Rightarrow 5y=-\dfrac{2}{5}-3=-\dfrac{17}{5} \Rightarrow y=-\dfrac{17}{25}$

Se deshace el camino:

$z=3+4\left(-\dfrac{17}{25}\right)=3-\dfrac{68}{25}=\dfrac{7}{25}$

$x=1-2\left(-\dfrac{17}{25}\right)-\dfrac{7}{25}=1+\dfrac{34}{25}-\dfrac{7}{25}=\dfrac{52}{25}$

Se comprueba en la primera ecuación:

$\dfrac{52}{25}+2\left(-\dfrac{17}{25}\right)+\dfrac{7}{25}=\dfrac{52-34+7}{25}=\dfrac{25}{25}=1$

La solución del sistema es $x=\dfrac{52}{25}=2{,}08$, $y=-\dfrac{17}{25}=-0{,}68$ y $z=\dfrac{7}{25}=0{,}28$.