Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema con los parámetros $a$ y $b$:

$\begin{cases} ax+2y+z=1 \\ x+by+2z=4 \\ 3x+y+bz=5 \end{cases}$

Si $a=3$, clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $b$. (1.5 puntos)

Con $a=3$ el sistema queda

$\begin{cases} 3x+2y+z=1 \\ x+by+2z=4 \\ 3x+y+bz=5 \end{cases}$

Se clasifica por el teorema de Rouché-Frobenius. La matriz de coeficientes es

$A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & b & 2 \\ 3 & 1 & b \end{pmatrix}$

Se calcula su determinante desarrollando por la primera fila:

$|A|=3\begin{vmatrix} b & 2 \\ 1 & b \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & b \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} 1 & b \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$

$|A|=3(b^2-2)-2(b-6)+(1-3b)=3b^2-6-2b+12+1-3b$

$|A|=3b^2-5b+7$

Se iguala a cero para buscar los valores que anulan el determinante:

$3b^2-5b+7=0 \Rightarrow b=\dfrac{5\pm\sqrt{25-84}}{6}=\dfrac{5\pm\sqrt{-59}}{6}$

El discriminante es negativo,

$\Delta=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 7=25-84=-59<0$

de modo que la ecuación no tiene solución real y el determinante no se anula para ningún valor de $b$. Además, como el coeficiente principal es positivo, $|A|=3b^2-5b+7>0$ siempre.

Por tanto $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3$, igual al número de incógnitas, cualquiera que sea $b$.

Con $a=3$ el sistema es compatible determinado para todo valor real del parámetro $b$: siempre tiene solución y es única.