Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Dado el sistema con los parámetros $a$ y $b$:

$\begin{cases} ax+2y+z=1 \\ x+by+2z=4 \\ 3x+y+bz=5 \end{cases}$

Si $b=-1$, clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $a$. (1.5 puntos)

Con $b=-1$ el sistema queda

$\begin{cases} ax+2y+z=1 \\ x-y+2z=4 \\ 3x+y-z=5 \end{cases}$

Se clasifica por el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Las matrices son

$A=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^*=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

Se calcula el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila:

$|A|= \begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} =a\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} -2\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$

$|A|=a(1-2)-2(-1-6)+(1+3)=-a+14+4=18-a$

$|A|=0 \Rightarrow 18-a=0 \Rightarrow a=18$

Primer caso: $a\neq 18$.

Entonces $|A|\neq 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=3$, que coincide con el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Segundo caso: $a=18$.

Ahora $|A|=0$, así que $\text{rg}(A)<3$. Hay un menor de orden dos no nulo:

$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1+3=4\neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2$

Para el rango de la ampliada se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 18 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix} =18(-5-4)-2(5-12)+(1+3)=-162+14+4=-144\neq 0$

Luego $\text{rg}(A^*)=3\neq 2=\text{rg}(A)$ y el sistema es incompatible.

Con $b=-1$, el sistema es compatible determinado para todo $a\neq 18$ e incompatible para $a=18$.