Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2026

Se ha realizado un estudio sobre los estudiantes de un Instituto de Educación Secundaria. La dirección del instituto desea conocer cuál es el rendimiento medio de sus alumnos. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de 100 expedientes de estudiantes, obteniendo una calificación media muestral de 6.5 puntos. Asumiendo que la calificación sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación igual a 1 punto, se pide:

a) ¿Entre qué valores se encuentra la calificación media $\mu$ de los estudiantes del instituto, con un nivel de confianza del 98 %? (1 punto)
b) Para un nivel de confianza del 99 %, ¿qué tamaño de muestra sería necesario para que el error cometido al estimar la media poblacional $\mu$ no sea superior a los 0.5 puntos? (1 punto)

$\textbf{a) ¿Entre qué valores se encuentra la calificación media } \boldsymbol{\mu}\textbf{ de los estudiantes del instituto, con un nivel de confianza del 98 \%?}\ (1\ \text{punto})$

La calificación sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=1$ conocida, así que el intervalo de confianza para la media es

$IC=\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con un nivel de confianza del 98 % se tiene $1-\alpha=0{,}98$, luego $\alpha/2=0{,}01$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=1-0{,}01=0{,}99 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}33$



Se calcula el error máximo con $\overline{x}=6{,}5$, $\sigma=1$ y $n=100$:

$E=2{,}33\cdot\dfrac{1}{\sqrt{100}}=2{,}33\cdot\dfrac{1}{10}=0{,}233$

Los extremos del intervalo son:

$6{,}5-0{,}233=6{,}267$

$6{,}5+0{,}233=6{,}733$

Con una confianza del 98 %, la calificación media de los estudiantes del instituto está entre 6,267 y 6,733 puntos.

$\textbf{b) Para un nivel de confianza del 99 \%, ¿qué tamaño de muestra sería necesario para que el error cometido al estimar la media poblacional } \boldsymbol{\mu}\textbf{ no sea superior a los 0,5 puntos?}\ (1\ \text{punto})$

Ahora el nivel de confianza es del 99 %, de modo que $\alpha/2=0{,}005$ y

$P(Z<z_{\alpha/2})=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$



Se impone que el error máximo no pase de 0,5 puntos y se despeja el tamaño de la muestra:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 0{,}5 \Rightarrow \sqrt{n}\geq\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{0{,}5}$

$\sqrt{n}\geq\dfrac{2{,}575\cdot 1}{0{,}5}=5{,}15 \Rightarrow n\geq 5{,}15^2=26{,}5225$

Como el tamaño de la muestra es un número entero y la desigualdad debe cumplirse, se toma el entero inmediatamente superior.

Harían falta al menos 27 expedientes para que, con una confianza del 99 %, el error no supere los 0,5 puntos.