Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

Un centro deportivo permanece abierto las 24 horas del día. Para modelizar la afluencia de usuarios de un día determinado, se define la función $f(t)$ que indica el número aproximado de personas dentro del centro a la hora $t$, con $0 \leq t \leq 24$:

$f(t)=\begin{cases} 10+2t^2+a & \text{si } 0 \leq t < 6 \\ 130-(t-12)^2 & \text{si } 6 \leq t < 18 \\ 80-\dfrac{1}{2}t^2+9t+b & \text{si } 18 \leq t \leq 24 \end{cases}$

Si $a=b=0$, ¿en qué momento del día se encuentran 105 personas dentro del centro deportivo según esta función? ¿A qué hora del día se produce la máxima afluencia y cuántos usuarios estaban en su interior? (1.5 puntos)

Con $a=b=0$ la función queda

$f(t)= \begin{cases} 10+2t^2 & \text{si } 0\leq t<6 \\ 130-(t-12)^2 & \text{si } 6\leq t<18 \\ 80-\dfrac{1}{2}t^2+9t & \text{si } 18\leq t\leq 24 \end{cases}$

Para saber cuándo hay 105 personas se resuelve $f(t)=105$ en cada tramo y se descartan las soluciones que caen fuera de él.

Primer tramo, $0\leq t<6$:

$10+2t^2=105 \Rightarrow 2t^2=95 \Rightarrow t^2=47{,}5 \Rightarrow t=\pm 6{,}89$

Ninguna de las dos pertenece a $[0,6)$, así que en ese tramo no se alcanzan las 105 personas.

Segundo tramo, $6\leq t<18$:

$130-(t-12)^2=105 \Rightarrow (t-12)^2=25 \Rightarrow t-12=\pm 5$

$t=7$ y $t=17$, y las dos pertenecen a $[6,18)$.

Tercer tramo, $18\leq t\leq 24$:

$80-\dfrac{1}{2}t^2+9t=105 \Rightarrow t^2-18t+50=0$

$t=\dfrac{18\pm\sqrt{324-200}}{2}=\dfrac{18\pm\sqrt{124}}{2}=9\pm\sqrt{31}$

Es decir, $t\approx 3{,}43$ y $t\approx 14{,}57$; ninguna pertenece a $[18,24]$.

Hay 105 personas dentro del centro a las 7 y a las 17 horas.

Para la máxima afluencia se busca el mayor valor de la función en cada tramo.

En $[0,6)$ la función $10+2t^2$ es creciente, así que se acerca a $10+2\cdot 36=82$ sin llegar a alcanzarlo.

En $[6,18)$ la función $130-(t-12)^2$ es una parábola con las ramas hacia abajo y vértice en $t=12$:

$f'(t)=-2(t-12)=0 \Rightarrow t=12$

$f''(t)=-2<0$, luego en $t=12$ hay un máximo, y vale

$f(12)=130-(12-12)^2=130$

En $[18,24]$ la derivada es

$f'(t)=-t+9$

que es negativa para todo $t\geq 18$: la función decrece y su mayor valor es el del extremo izquierdo,

$f(18)=80-162+162=80$

Comparando los tres tramos, el mayor valor es 130.

La máxima afluencia se produce a las 12 horas, con 130 usuarios dentro del centro deportivo.