Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Un centro deportivo permanece abierto las 24 horas del día. Para modelizar la afluencia de usuarios de un día determinado, se define la función $f(t)$ que indica el número aproximado de personas dentro del centro a la hora $t$, con $0 \leq t \leq 24$:

$f(t)=\begin{cases} 10+2t^2+a & \text{si } 0 \leq t < 6 \\ 130-(t-12)^2 & \text{si } 6 \leq t < 18 \\ 80-\dfrac{1}{2}t^2+9t+b & \text{si } 18 \leq t \leq 24 \end{cases}$

Determinar el valor de $a$ y $b$ para que la función anterior sea continua. (1.5 puntos)

Cada uno de los tres trozos es una función polinómica, así que por separado son continuas. Los únicos puntos dudosos son los dos empalmes, $t=6$ y $t=18$, donde hay que imponer que los límites laterales coincidan con el valor de la función.

Continuidad en $t=6$. El límite por la izquierda se calcula con el primer trozo y el valor de la función con el segundo, que es el que incluye $t=6$:

$\lim_{t\to 6^-}f(t)=\lim_{t\to 6^-}\left(10+2t^2+a\right)=10+2\cdot 36+a=82+a$

$f(6)=\lim_{t\to 6^+}f(t)=130-(6-12)^2=130-36=94$

Se igualan:

$82+a=94 \Rightarrow a=12$

Continuidad en $t=18$. Ahora el límite por la izquierda sale del segundo trozo y el valor de la función del tercero:

$\lim_{t\to 18^-}f(t)=130-(18-12)^2=130-36=94$

$f(18)=80-\dfrac{1}{2}\cdot 18^2+9\cdot 18+b=80-162+162+b=80+b$

Se igualan:

$94=80+b \Rightarrow b=14$

Con $a=12$ y $b=14$ la función es continua en todo el intervalo $[0,24]$: dentro de cada tramo por ser polinómica y en los dos empalmes por lo que se acaba de imponer.