Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una industria alimentaria se planifica la supervisión que se va a realizar a los lotes producidos el próximo mes. Se han establecido dos protocolos de revisión, la revisión normal y la exhaustiva. Los recursos humanos y materiales de esa supervisión limitan el número de lotes que se pueden revisar.

En la siguiente figura se muestra sombreada la región factible de un problema de programación lineal planteado para decidir el número de revisiones normales y el número de revisiones exhaustivas.



a) Escribir matemáticamente el conjunto de restricciones que corresponden a este problema. Escribir una solución de la región factible y otra de fuera de la región factible. (1.5 puntos)
b) Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, y teniendo en cuenta la región factible dada en el apartado anterior, cuál es el número máximo total de revisiones normales y exhaustivas que se pueden realizar, así como el número de ambas revisiones para las que se alcanza este máximo. (1.5 puntos)

$\textbf{a) Escribir matemáticamente el conjunto de restricciones que corresponden a este problema. Escribir una solución de la región factible y otra de fuera de la región factible.}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

Se llama $x$ e $y$ al número de revisiones de cada uno de los dos protocolos, en el orden de los ejes de la figura.

La figura da cuatro rectas frontera. Para saber con qué desigualdad se queda cada una basta probar un punto interior del recinto sombreado, por ejemplo el $(40,10)$.

Recta $3x+6y=220$: $3\cdot 40+6\cdot 10=180\leq 220$, luego $3x+6y\leq 220$.

Recta $2x+1{,}5y=120$: $2\cdot 40+1{,}5\cdot 10=95\leq 120$, luego $2x+1{,}5y\leq 120$.

Recta $2x-5y=5$: $2\cdot 40-5\cdot 10=30\geq 5$, luego $2x-5y\geq 5$.

Recta $y=7$: el recinto queda por encima, luego $y\geq 7$.

El conjunto de restricciones es

$\begin{cases} 3x+6y\leq 220 \\ 2x+1{,}5y\leq 120 \\ 2x-5y\geq 5 \\ y\geq 7 \end{cases}$

El punto $(40,10)$ es una solución de la región factible, porque cumple las cuatro restricciones, como se acaba de comprobar.

El punto $(60,20)$ está fuera de la región factible: incumple las dos primeras restricciones, ya que

$3\cdot 60+6\cdot 20=300>220$ y $2\cdot 60+1{,}5\cdot 20=150>120$

$\textbf{b) Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, y teniendo en cuenta la región factible dada en el apartado anterior, cuál es el número máximo total de revisiones normales y exhaustivas que se pueden realizar, así como el número de ambas revisiones para las que se alcanza este máximo.}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

La función objetivo es el total de revisiones:

$z=f(x,y)=x+y$

Hacen falta los vértices del recinto, que la figura no rotula. Cada uno es el corte de dos de las rectas frontera.



Vértice $A$: corte de $2x-5y=5$ con $y=7$.

$2x-35=5 \Rightarrow 2x=40 \Rightarrow x=20 \Rightarrow A(20,7)$

Vértice $B$: corte de $2x+1{,}5y=120$ con $y=7$.

$2x+10{,}5=120 \Rightarrow 2x=109{,}5 \Rightarrow x=54{,}75 \Rightarrow B(54{,}75;\,7)$

Vértice $C$: corte de $3x+6y=220$ con $2x+1{,}5y=120$. Se multiplica la segunda ecuación por 4 y se resta la primera:

$\begin{cases} 3x+6y=220 \\ 8x+6y=480 \end{cases} \Rightarrow 5x=260 \Rightarrow x=52$

$3\cdot 52+6y=220 \Rightarrow 6y=64 \Rightarrow y=\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67 \Rightarrow C\left(52,\dfrac{32}{3}\right)$

Vértice $D$: corte de $3x+6y=220$ con $2x-5y=5$. De la segunda, $x=\dfrac{5+5y}{2}$:

$3\cdot\dfrac{5+5y}{2}+6y=220 \Rightarrow 15+15y+12y=440 \Rightarrow 27y=425$

$y=\dfrac{425}{27}\approx 15{,}74$, $x=\dfrac{1130}{27}\approx 41{,}85 \Rightarrow D\left(\dfrac{1130}{27},\dfrac{425}{27}\right)$

El recinto es acotado, así que el máximo de la función objetivo se alcanza en un vértice. Se valora en los cuatro:

$f(A)=20+7=27$

$f(B)=54{,}75+7=61{,}75$

$f(C)=52+\dfrac{32}{3}=\dfrac{188}{3}\approx 62{,}67$

$f(D)=\dfrac{1130}{27}+\dfrac{425}{27}=\dfrac{1555}{27}\approx 57{,}59$

El máximo se alcanza en el vértice $C$. Como las revisiones son unidades enteras, el mayor total realizable es de 62 revisiones, que se consiguen por ejemplo con 52 y 10, punto que cumple las cuatro restricciones:

$3\cdot 52+6\cdot 10=216\leq 220$, $2\cdot 52+1{,}5\cdot 10=119\leq 120$, $2\cdot 52-5\cdot 10=54\geq 5$ y $10\geq 7$.

El número máximo total de revisiones es 62, repartidas en 52 de un protocolo y 10 del otro.