Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una industria alimentaria se planifica la supervisión que se va a realizar a los lotes producidos el próximo mes. Se han establecido dos protocolos de revisión, la revisión normal y la exhaustiva. Los recursos humanos y materiales de esa supervisión limitan el número de lotes que se pueden revisar.

Se sabe que una revisión exhaustiva de un lote consume 6 horas del departamento de envasado y 2 horas en el de etiquetado, mientras que una revisión normal de un lote consume 3 horas del departamento de envasado y 1.5 horas en el de etiquetado. En esta planificación de la supervisión se fija que, como mínimo, 5 revisiones deben ser exhaustivas y, al menos la mitad, con el protocolo normal. Se disponen de un máximo de 180 horas en el departamento de envasado y un máximo de 80 horas en el de etiquetado.

a) Determinar el sistema de restricciones y representar la región factible, utilizando técnicas de programación lineal. (1.5 puntos)
b) Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, cuál es el número máximo total de revisiones normales y exhaustivas que se pueden realizar con los recursos disponibles, así como el número de ambas revisiones para las que se alcanza este máximo. (1.5 puntos)

$\textbf{a) Determinar el sistema de restricciones y representar la región factible, utilizando técnicas de programación lineal.}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

Se llama $x$ al número de revisiones exhaustivas e $y$ al número de revisiones normales que se programan el próximo mes.

Se ordena en una tabla el consumo de horas de cada departamento.

$\text{Tipo de revisión}$	$\text{Envasado (h)}$	$\text{Etiquetado (h)}$
Exhaustiva ($x$)	$6x$	$2x$
Normal ($y$)	$3y$	$1{,}5y$
Disponible	$180$	$80$

El departamento de envasado dispone de 180 horas como máximo:

$6x+3y\leq 180 \Rightarrow 2x+y\leq 60$

El de etiquetado dispone de 80 horas como máximo:

$2x+1{,}5y\leq 80 \Rightarrow 4x+3y\leq 160$

Como mínimo 5 revisiones deben ser exhaustivas:

$x\geq 5$

Al menos la mitad de las revisiones deben hacerse con el protocolo normal:

$y\geq\dfrac{x+y}{2} \Rightarrow 2y\geq x+y \Rightarrow y\geq x$

El sistema de restricciones es, por tanto,

$\begin{cases} 2x+y\leq 60 \\ 4x+3y\leq 160 \\ x\geq 5 \\ y\geq x \end{cases}$

Para representar la región factible se dibujan las cuatro rectas frontera con sus tablas de valores. La región factible es la zona coloreada en azul.





$2x+y=60$

$x$	$y=60-2x$
10	40
20	20

$4x+3y=160$

$x$	$y=\dfrac{160-4x}{3}$
10	40
25	20

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $A$: corte de $x=5$ con $y=x$.

$\begin{cases} x=5 \\ y=x \end{cases} \Rightarrow A(5,5)$

Vértice $B$: corte de $y=x$ con $2x+y=60$.

$2x+x=60 \Rightarrow 3x=60 \Rightarrow x=20 \Rightarrow B(20,20)$

Vértice $C$: corte de $2x+y=60$ con $4x+3y=160$.

$\begin{cases} y=60-2x \\ 4x+3(60-2x)=160 \end{cases} \Rightarrow 4x+180-6x=160 \Rightarrow -2x=-20 \Rightarrow x=10$

$y=60-20=40 \Rightarrow C(10,40)$

Vértice $D$: corte de $4x+3y=160$ con $x=5$.

$20+3y=160 \Rightarrow 3y=140 \Rightarrow y=\dfrac{140}{3}\approx 46{,}67 \Rightarrow D\left(5,\dfrac{140}{3}\right)$

$\textbf{b) Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, cuál es el número máximo total de revisiones normales y exhaustivas que se pueden realizar con los recursos disponibles, así como el número de ambas revisiones para las que se alcanza este máximo.}\ (1{,}5\ \text{puntos})$

La función objetivo es el número total de revisiones:

$z=f(x,y)=x+y$

Como el recinto es acotado y la función objetivo es lineal, su máximo se alcanza en uno de los vértices. Se valora en los cuatro:

$f(A)=f(5,5)=5+5=10$

$f(B)=f(20,20)=20+20=40$

$f(C)=f(10,40)=10+40=50$

$f(D)=f\left(5,\dfrac{140}{3}\right)=5+\dfrac{140}{3}=\dfrac{155}{3}\approx 51{,}67$

El máximo se alcanza en el vértice $D$. Como el número de revisiones ha de ser entero, el mayor total que puede programarse de verdad es de 51 revisiones: 5 exhaustivas y 46 normales, que cumplen las cuatro restricciones

$2\cdot 5+46=56\leq 60$, $4\cdot 5+3\cdot 46=158\leq 160$, $5\geq 5$ y $46\geq 5$.

Con los recursos disponibles se pueden revisar como mucho 51 lotes, 5 con el protocolo exhaustivo y 46 con el normal.