Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Sea la función

$f(x)=\begin{cases} 4x-2 & \text{si } x \leq 3 \\ (x-4)^2-1 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Estudiar la continuidad de la función $f(x)$ en todo su dominio de definición. (1.5 puntos)

La función está definida a trozos y su dominio es todo $\mathbb{R}$, porque los dos trozos son polinomios y entre los dos cubren la recta real.

En cada trozo por separado la función es continua por ser polinómica:

$f(x)=4x-2$ es continua en $(-\infty,3)$.

$f(x)=(x-4)^2-1$ es continua en $(3,+\infty)$.

El único punto dudoso es el de empalme, $x=3$, donde hay que comprobar las tres condiciones de la continuidad.

Valor de la función. Como en $x=3$ se cumple $x\leq 3$, se usa el primer trozo:

$f(3)=4\cdot 3-2=10$

Límite por la izquierda:

$\lim_{x\to 3^-}f(x)=\lim_{x\to 3^-}(4x-2)=4\cdot 3-2=10$

Límite por la derecha:

$\lim_{x\to 3^+}f(x)=\lim_{x\to 3^+}\left((x-4)^2-1\right)=(3-4)^2-1=1-1=0$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos:

$\lim_{x\to 3^-}f(x)=10\neq 0=\lim_{x\to 3^+}f(x)$

Al no existir el límite en $x=3$, la función no es continua en ese punto: presenta una discontinuidad de salto finito, de amplitud

$|10-0|=10$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{3\}$ y en $x=3$ tiene una discontinuidad de salto finito de 10 unidades.