Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

Sea la función

$f(x)=\begin{cases} 4x-2 & \text{si } x \leq 3 \\ (x-4)^2-1 & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Calcular el área limitada por la función $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[4,6]$, dibujando el recinto correspondiente. (1.5 puntos)

En el intervalo $[4,6]$ la función viene dada por el segundo trozo, porque todos sus puntos cumplen $x>3$:

$f(x)=(x-4)^2-1$

Antes de integrar hay que localizar los cortes con el eje de abscisas dentro del intervalo, ya que el área es la integral del valor absoluto y hay que partirla por cada corte.

$(x-4)^2-1=0 \Rightarrow (x-4)^2=1 \Rightarrow x-4=\pm 1 \Rightarrow x=3,\ x=5$

Solo $x=5$ pertenece a $[4,6]$, así que el recinto se parte en $[4,5]$ y $[5,6]$. Se mira el signo de la función en cada trozo:

$f(4{,}5)=(4{,}5-4)^2-1=0{,}25-1=-0{,}75<0$

$f(5{,}5)=(5{,}5-4)^2-1=2{,}25-1=1{,}25>0$

El recinto es el siguiente. La parábola tiene el vértice en $(4,-1)$, corta al eje en $x=5$ y en $x=6$ vale $f(6)=(6-4)^2-1=3$.



Se calcula una primitiva desarrollando el cuadrado:

$\int\left((x-4)^2-1\right)dx=\dfrac{(x-4)^3}{3}-x+C$

Primer trozo, $[4,5]$, donde la función es negativa:

$\int_{4}^{5}\left((x-4)^2-1\right)dx =\left[\dfrac{(x-4)^3}{3}-x\right]_{4}^{5} =\left(\dfrac{1}{3}-5\right)-\left(0-4\right) =-\dfrac{2}{3}$

Segundo trozo, $[5,6]$, donde la función es positiva:

$\int_{5}^{6}\left((x-4)^2-1\right)dx =\left[\dfrac{(x-4)^3}{3}-x\right]_{5}^{6} =\left(\dfrac{8}{3}-6\right)-\left(\dfrac{1}{3}-5\right) =\dfrac{4}{3}$

El área es la suma de los dos valores absolutos:

$A=\left|-\dfrac{2}{3}\right|+\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}=2$

El área limitada por la función y el eje de abscisas en el intervalo $[4,6]$ es de 2 unidades cuadradas.