Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Calcular $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x^{2}-x+1} - \sqrt{2x-1}}{1-x}$. [1 punto]

b) Dada la función $f(x) = \dfrac{2x - e^{-x}}{x^{2} + e^{-x}}$, hallar la función primitiva suya $F(x)$ que verifique $F(0) = 3$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcular } \boldsymbol{\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x^{2}-x+1} - \sqrt{2x-1}}{1-x}}\textbf{. [1 punto]}$

Sustituyendo aparece una indeterminación, porque los dos radicandos valen $1$ en $x=1$.

$\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^{2}-x+1}-\sqrt{2x-1}}{1-x}=\dfrac{1-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador, porque la diferencia de los radicandos se factoriza cómodamente:

$\left(x^{2}-x+1\right)-(2x-1)=x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$

$\dfrac{\sqrt{x^{2}-x+1}-\sqrt{2x-1}}{1-x}\cdot\dfrac{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{2x-1}}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{2x-1}}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{(1-x)\left(\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{2x-1}\right)}$

Como $1-x=-(x-1)$, el factor $x-1$ se simplifica dejando un signo menos:

$=\dfrac{-(x-2)}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{2x-1}}$

$\lim_{x\to 1}\dfrac{-(x-2)}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$

El valor del límite es $\dfrac{1}{2}$.

$\textbf{b) Dada la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{2x - e^{-x}}{x^{2} + e^{-x}}}\textbf{, hallar la función primitiva suya } \boldsymbol{F(x)}\textbf{ que verifique } \boldsymbol{F(0) = 3}\textbf{. [1 punto]}$

Antes de integrar conviene mirar la derivada del denominador, porque coincide exactamente con el numerador:

$\left(x^{2}+e^{-x}\right)'=2x-e^{-x}$

La integral es, pues, del tipo $\dfrac{u'}{u}$, cuya primitiva es un logaritmo.

$\int\dfrac{2x-e^{-x}}{x^{2}+e^{-x}}\,dx=\ln\left|x^{2}+e^{-x}\right|+C$

Como el denominador es suma de un cuadrado y una exponencial, es siempre positivo y podemos prescindir del valor absoluto.

Imponemos ahora la condición $F(0)=3$:

$F(0)=\ln\left(0+e^{0}\right)+C=\ln 1+C=C=3$

$F(x)=\ln\left(x^{2}+e^{-x}\right)+3$