Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Determinar la función $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$, conociendo que tiene un punto de inflexión en $x = 1$ y que la recta tangente a su gráfica en el punto $(-1,0)$ es el eje de abscisas. [2 puntos]

$\textbf{Determinar la función } \boldsymbol{f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c}\textbf{, conociendo que tiene un punto de inflexión en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y que la recta tangente a su gráfica en el punto } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{ es el eje de abscisas. [2 puntos]}$

El enunciado esconde tres condiciones, porque la segunda dice dos cosas a la vez: que la gráfica pasa por $(-1,0)$ y que la pendiente allí es la del eje de abscisas, es decir, cero.

Calculamos las derivadas que hacen falta:

$f'(x)=3x^{2}+2ax+b \qquad f''(x)=6x+2a$

La condición de inflexión anula la segunda derivada:

$f''(1)=6+2a=0 \Rightarrow a=-3$

La tangencia con el eje de abscisas anula la primera derivada en $x=-1$:

$f'(-1)=3-2a+b=0 \Rightarrow 3+6+b=0 \Rightarrow b=-9$

Y el paso por el punto $(-1,0)$ da la última ecuación:

$f(-1)=-1+a-b+c=0 \Rightarrow -1-3+9+c=0 \Rightarrow c=-5$

$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x-5$

Comprobamos las tres condiciones: $f(-1)=-1-3+9-5=0$; $f'(-1)=3+6-9=0$; y $f''(1)=6-6=0$, con cambio de signo, porque $f''(x)=6x-6$ pasa de negativa a positiva en $x=1$, de modo que se trata realmente de un punto de inflexión.