Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,2,3)$ y es paralela a la recta siguiente: [1 punto]

$r \equiv \begin{cases} x - y - z - 1 = 0 \\ x + y + z - 3 = 0 \end{cases}$

b) Calcular el punto simétrico del $(1,2,3)$ respecto del plano $\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto } \boldsymbol{(1,2,3)}\textbf{ y es paralela a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a las dos normales y se obtiene con el producto vectorial.

$\vec v_r=(1,-1,-1)\times(1,1,1)=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(0,\,-2,\,2)$

Podemos simplificarlo dividiendo entre $-2$: $\vec v_r=(0,1,-1)$.

Una recta paralela comparte ese director y pasa por el punto dado:

$s\equiv\begin{cases} x=1 \\ y=2+t \\ z=3-t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

$\textbf{b) Calcular el punto simétrico del } \boldsymbol{(1,2,3)}\textbf{ respecto del plano } \boldsymbol{\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0}\textbf{. [1 punto]}$

El simétrico se obtiene en tres fases: i) se traza la recta que pasa por $P$ y es perpendicular al plano; ii) se corta esa recta con el plano, lo que da el pie $M$; iii) se impone que $M$ sea el punto medio de $\overline{PP'}$.



i) La perpendicular al plano lleva la dirección de su vector normal, $\vec n_{\pi}=(3,2,1)$:

$t\equiv (1+3\lambda,\ 2+2\lambda,\ 3+\lambda)$

ii) Sustituimos en la ecuación del plano:

$3(1+3\lambda)+2(2+2\lambda)+(3+\lambda)+4=0$

$3+9\lambda+4+4\lambda+3+\lambda+4=0 \Rightarrow 14\lambda+14=0 \Rightarrow \lambda=-1$

$M=(1-3,\ 2-2,\ 3-1)=(-2,0,2)$

iii) Como $M$ es el punto medio del segmento, se despeja el simétrico:

$P'=2M-P=(-4-1,\ 0-2,\ 4-3)=(-5,-2,1)$

Se comprueba que $M$ está en el plano, $-6+0+2+4=0$, y que es el punto medio de $P$ y $P'$.

El punto simétrico es $P'(-5,-2,1)$.