Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados el punto $P(2,1,1)$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z-4}{-3}$:

a) Hallar la recta paralela a $r$ que pase por $P$. [0,8 puntos]

b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$. [1,2 puntos]

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y su vector director, que son los datos que usarán los dos apartados.

$C(2,3,4)\qquad \vec v_r=(1,-1,-3)$

$\textbf{a) Hallar la recta paralela a } \boldsymbol{r}\textbf{ que pase por } \boldsymbol{P}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Dos rectas paralelas comparten el vector director, así que basta cambiar el punto por el que pasa.

$s\equiv\begin{cases} x=2+t \\ y=1-t \\ z=1-3t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

o, en forma continua, $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}$.

$\textbf{b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ y contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,2 puntos]}$

El plano queda determinado por el punto $C$ de la recta, la dirección de esta y la dirección $\overrightarrow{CP}$. Comprobamos antes que $P$ no está en $r$, o el plano no sería único.

$\overrightarrow{CP}=(2,1,1)-(2,3,4)=(0,-2,-3)$

Los vectores $(1,-1,-3)$ y $(0,-2,-3)$ no son proporcionales —el primero tiene primera componente no nula y el segundo no—, luego $P\notin r$.

$\vec n=\vec v_r\times\overrightarrow{CP}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & -3 \\ 0 & -2 & -3 \end{vmatrix}=(-3,\,3,\,-2)$

Cambiando el signo, $\vec n=(3,-3,2)$.

$\pi\equiv 3x-3y+2z+D=0$

Imponemos que pase por $P(2,1,1)$:

$6-3+2+D=0 \Rightarrow D=-5$

$\pi\equiv 3x-3y+2z-5=0$

Comprobamos que contiene a la recta: pasa por $C(2,3,4)$, ya que $6-9+8-5=0$, y su normal es ortogonal al director, porque $(3,-3,2)\cdot(1,-1,-3)=3+3-6=0$.